2014년 8월 10일 (일) 01:32 판 편집 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 →‎아이디얼의 종류 ← 이전 편집		2014년 8월 13일 (수) 05:42 판 편집 편집 취소 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
4번째 줄: == 정의 == <math>(R,+,\cdot)</math>가 [[환 (수학)\|환]]이고, <math>I\mathfrak a\subset R</math>가 <math>R</math>의 (덧셈 [[아벨 군]]으로서의) [[부분군]]이라고 하자. * 만약 <math>R\mathfrak a\subseteq\mathfrak a</math>일 경우, <math>\mathfrak a</math>가 R의 '''좌 아이디얼'''(左ideal, {{llang\|en\|left ideal}})이라고 한다. * I가 R의 '''우아이디얼'''(右ideal, {{llang\|en\|right ideal}})이라 함은 I의 임의의 원소 x와 R의 임의의 원소 r에 대해 xr이 I의 원소인 경우를 말한다. * 만약 <math>\mathfrak aR\subseteq\mathfrak a</math>일 경우, <math>\mathfrak a</math>가 R의 '''우 아이디얼'''(右ideal, {{llang\|en\|right ideal}})이라고 한다. * I가 R의 '''좌아이디얼'''(左ideal, {{llang\|en\|left ideal}})이라 함은 I의 임의의 원소 x와 R의 임의의 원소 r에 대해 rx가 I의 원소인 경우를 말한다. * I가만약 R의<math>\mathfrak a</math>가 <math>R</math>의 좌 아이디얼 및 우 아이디얼일 경우, <math>\mathfrak a</math>가 <math>R</math>의 '''양쪽 아이디얼'''(兩쪽ideal, {{llang\|en\|two-sided ideal}}) 또는 단순히 '''아이디얼'''~~이라 함은 <math>I</math>가 좌아이디얼 및 우아이디얼을 이룸을~~이라고 ~~말한다~~한다. R의 좌아이디얼은 [[반환 (환론)\|반환]](opposite ring) <math>R^{\text{op}}</math>의 우아이디얼과 일치하며, 이는 반대로도 성립한다. ▼ 즉, 좌·우·양쪽 아이디얼의 원소는 각각 좌측·우측·양쪽에 곱셈을 해도 여전히 그 좌·우·양쪽 아이디얼을 벗어나지 않는다. ▲R의<math>R</math>의 좌아이디얼은 [[~~반환 (환론)\|반환~~반대환]](opposite ring) <math>R^{\text{op}}</math>의 우아이디얼과 일치하며, 이는 반대로도 성립한다. 정의에 따라, 아이디얼은 환 <math>R</math>의 부분 [[유사환]]을 이루지만, 일반적으로 곱셈 항등원을 갖추지 않는다. 곱셈 항등원을 포함하는, 즉 부분환을 이루는 아이디얼은 <math>R</math> 전체밖에 없다. == 아이디얼의 연산 == [[환 (수학)\|환]] <math>R</math>의 두 (좌·우·양쪽) 아이디얼 <math>\mathfrak a</math>, <math>\mathfrak b</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이들로부터 다음과 같은 아이디얼의 '''합'''과 '''곱'''과 '''교집합'''을 정의할 수 있으며, 이는 또다른 (좌·우·양쪽) 아이디얼을 이룬다. :<math>\mathfrak a+\mathfrak b=\{a+b\colon r\in\mathfrak a,\;s\in\mathfrak b\}</math> :<math>\mathfrak a\mathfrak b=\{a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\colon a_1,\dots,a_n\in\mathfrak a;\;b_1,\dots,b_n\in\mathfrak b\;n=0,1,2,\dots\}</math> :<math>\mathfrak a\cap\mathfrak b=\{r\colon r\in\mathfrak a,\;r\in\mathfrak b\}</math> 일반적으로, 다음이 성립한다. :<math>\mathfrak a\mathfrak b\subseteq\mathfrak a\cap\mathfrak b\subseteq\mathfrak a\cup\mathfrak b\subseteq\mathfrak a+\mathfrak b</math> 다만, 아이디얼의 합집합은 일반적으로 아이디얼을 이루지 않는다. (좌·우·양쪽) 아이디얼의 덧셈과 곱셈은 각각 [[결합법칙]]·[[교환법칙]]·[[분배법칙]]을 따르므로, (좌·우·양쪽) 아이디얼들의 집합은 [[반환 (수학)\|반환]](semiring)을 이룬다. == 아이디얼의 종류 == 특정한 성질을 가진 아이디얼의 종류로는 다음을 들 수 있다. ~~(주의: 여기에서 모든 환은 가환인 것으로 한다. 비가환인 경우는 해당 문서에서 자세히 다룬다.)~~ * '''진 아이디얼'''(眞ideal, {{llang\|en\|proper ideal}}) R의 아이디얼 I가 R 전체가 아닐 경우, 이를 '''진 아이디얼'''이라고 한다. 줄 20 ⟶ 32: 덧셈 항등원만을 포함하는 부분집합 <math>\{0\}</math>은 아이디얼을 이루며, 이를 '''영 아이디얼'''이라고 한다. * '''[[극대 아이디얼]]''' * '''[[주 아이디얼]]'''▼ ** I가 진 아이디얼일 때, I보다 큰 (즉, I를 포함하면서 I와 같지 않은) 진 아이디얼이 존재하지 않을 경우 이를 극대 아이디얼이라 한다. 환을 극대 아이디얼로 나눈 몫은 [[체 (수학)\|체]]가 된다. * '''[[소 아이디얼]]''' ** I가 진 아이디얼일 때, R의 임의의 원소 a와 b에 대해 ab가 I의 원소라면 언제나 a와 b 중 적어도 하나는 I의 원소일 경우, 이를 소 아이디얼이라 한다. 환을 소 아이디얼로 나눈 몫은 [[정역]]이 된다. ▲* '''[[주 아이디얼]]''' ** 주 아이디얼은 하나의 원소에 의해 생성되는 아이디얼이다. 즉, <math>r\in R</math>에 대하여, <math>rR</math>는 주 우아이디얼이며, <math>Rr</math>는 주 좌아이디얼이다. * '''[[으뜸 아이디얼]]''' * '''[[아이디얼의 근기]]''' 줄 30 ⟶ 39: == 성질 == * 아이디얼이 환 전체가 아닐 필요충분조건은 1을 포함하지 않는다는 것이다. * 진 아이디얼들은 부분집합 포함관계에 따라 [[부분 순서]]가 주어지며, 여기에 [[초른의 보조정리]]를 적용하면 모든 진 아이디얼이 극대 아이디얼에 포함되어 있음을 보일 수 있다. * 모든 아이디얼은 0을 포함하며, 따라서 [[공집합]]이 아니다. * 정수[[정수환]] Z가<math>\mathbb ~~갖는 모든~~Z</math>의 아이디얼은 어떤 정수 a에 의해 생성되는 주 아이디얼뿐이다. 즉, 정수환은 [[주 아이디얼 정역]]이다. 이 성질의 따름정리는 다름 아닌 [[나눗셈 정리]]이다.▼ * 환 R은R는 자기 자신 상의 좌 [[가군]]으로 볼 수 있으며, 이때 R의 좌 아이디얼들은 R의 [[부분가군]]이다. 마찬가지로 R의 우 아이디얼들은 R을R를 ~~우 가군으로~~우가군으로 본 것의 부분가군이며, 양측양쪽 아이디얼들은 R을 ~~bimodule로~~양쪽 가군({{llang\|en\|bimodule}})으로 본 것의 부분가군이다. R이R가 ~~가환이라면~~[[가환환]]이라면 이 ~~3가지 경우를~~세 ~~구별할~~가지 ~~필요가~~경우가 없다일치한다.▼ ▲* 정수 Z가 갖는 모든 아이디얼은 어떤 정수 a에 의해 생성되는 주 아이디얼뿐이다. 이 성질의 따름정리는 다름 아닌 [[나눗셈 정리]]이다. ▲* 환 R은 자기 자신 상의 좌 [[가군]]으로 볼 수 있으며, 이때 R의 좌 아이디얼들은 R의 [[부분가군]]이다. 마찬가지로 R의 우 아이디얼들은 R을 우 가군으로 본 것의 부분가군이며, 양측 아이디얼들은 R을 bimodule로 본 것의 부분가군이다. R이 가환이라면 이 3가지 경우를 구별할 필요가 없다. == 바깥 고리 ==

아이디얼: 두 판 사이의 차이