P진수: 두 판 사이의 차이
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== 정의 ==
p진수체 및 p진 정수환은 해석적인 기법 및 [[가환대수학]]적 기법으로 정의할 수 있다.
=== 해석적 정의 ===
<math>p</math>가 [[소수 (수론)|소수]]라고 하자. [[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>에 다음과 같은 [[노름]] <math>|\cdot|_p</math>를 정의할 수 있다.
:<math>|p^na/b|_p=p^{-n}</math> (<math>p\nmid a,b</math>)
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[[유리수체]] <math>\mathbb Q_p</math>를 이 노름에 대하여 [[완비 거리공간|완비]]시켜 얻는 체를 '''p진체''' <math>\mathbb Q_p</math>라고 하며, 그 원소를 '''p진수'''라고 한다.
=== 대수적 정의 ===
''p''진 정수환 <math>\mathbb Z_p</math>는 [[정수환]] <math>\mathbb Z</math>를 소 아이디얼 <math>(p)</math>에서 [[완비화 (환론)|완비화]]한 것이다. 즉, 다음과 같은 [[몫환]]들 사이에 자연스러운 [[환 준동형사상]]이 존재하며,
:<math>\cdots\to\mathbb Z/p^3\to\mathbb Z/p^2\to\mathbb Z/p\to0</math>
''p''진 정수환은 이들의 [[역극한]]이다.
:<math>\mathbb Z_p=\varprojlim_n\mathbb Z/(p^n)</math>
''p''진 정수환은 [[정역]]을 이루며, '''''p''진수체''' <math>\mathbb Q_p</math>는 ''p''진 정수환의 [[분수체]]이다.
:<math>\mathbb Q_p=\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p)</math>
=== p진 복소수 ===
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==바깥 고리==
* {{eom|title=P-adic number}}
* {{매스월드|id=p-adicNumber|title=p-adic number}}
* {{매스월드|id=p-adicInteger|title=p-adic integer}}
* {{매스월드|id=p-adicNorm|title=p-adic norm}}
*[http://www.math.lsa.umich.edu/~bdconrad/676Page/handouts/algclosurecomp.pdf Completion of Algebraic Closure] - on-line lecture notes
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