제곱근 2: 두 판 사이의 차이
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2의 제곱근이 [[무리수]]라는 사실은 [[고대]] 시기부터 잘 알려져 있었다. [[에우클레이데스]]는 《[[유클리드의 원론|원론]]》에서 2의 제곱근이 무리수라는 사실을 [[귀류법]]을 통하여 증명하였다.
== 역사 ==
[[파일:Ybc7289-bw.jpg|thumb|150px|left|Ybc7289]]
[[예일대학교]] 소장 목록번호 7289인 [[바빌로니아]] 점토판에서는 2의 제곱근의 근삿값을 다음과 같이 계산하고 있다.<ref>Fowler and Robson, p. 368.<br />[http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Photograph, illustration, and description of the ''root(2)'' tablet from the Yale Babylonian Collection]<br />[http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/Euclid/ybc/ybc.html High resolution photographs, descriptions, and analysis of the ''root(2)'' tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection]</ref>
:<math>1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421\overline{296}.</math>
또한 [[고대 인도]]의 수학책인 《술바수트라》에서는 2의 제곱근의 근삿값을 다음과 같이 계산하고 있다.<ref>Henderson, David W. (2000), [http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/sulba/sulba.html "Square roots in the Śulba Sūtras"], in Gorini, Catherine A., Geometry At Work: Papers in Applied Geometry, Cambridge University Press, pp. 39–45, ISBN
:<math>1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1.414215686.</math>
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가 된다. 이제 왼쪽의 그림과 같이 빗변이 아닌 두 변의 길이가 1인 직각삼각형의 빗변의 길이는 다음과 같이 계산할 수 있다.
: <math> Z = \sqrt{X^2 + Y^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}</math>
[[고대 그리스]]의 [[피타고라스 학파]]인 [[히파소스]]는 이 계산에서 나타나는 2의 제곱근을 [[기약분수]]로 나타낼 수 없다는 사실을 발견하였다.<ref>존 그리빈, 최주연 역, 과학의 역사 1, 에코리브르, 2005년, ISBN
[[헬레니즘]] 시기 [[알렉산드리아]]의 수학자 [[에우클레이데스]]는 2의 제곱근이 무리수라는 것을 증명하였다.
== 계산 ==
다음의 [[알고리즘]]을 이용하여 2의 제곱근을 계산할 수 있다.
:<math>a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}. </math> (단, a<sub>0</sub> > 0 )
위의 식에 a<sub>0</sub> = 1 을 대입하고 알고리즘을 실행하면 다음과 같은 결과가 나온다. 순환의 횟수가 많아 질수록 보다 정확한 근삿값을 계산할 수 있다.
* 3/2
* 17/12
* 577/408 = '''1.41421'''5...
* 665857/470832 = '''1.41421356237'''46...
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:<math>\sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + {}\ddots}}}}.</math>
== 무리수 증명 ==
=== 에우클레이데스 ===
에우클레이데스는 《[[유클리드 원론|원론]]》에서 [[귀류법]]을 이용하여 2의 거듭제곱이 무리수라는 것을 증명하였다.<ref>The edition of the Greek text of the Elements published by E. F. August in Berlin in 1826–1829 already relegates this proof to an Appendix. The same thing occurs with J. L. Heiberg's edition (1883–1888).</ref> 다음은 에우클레이데스의 증명 과정이다. <ref>Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Vol. 1. New York: Oxford University Press. (Original work published 1972). p.33.</ref><ref>사이먼 싱, 박명철 역, 페르마의 마지막 정리, 갈릴레오 총서, ISBN
# 만약 <math>\sqrt{2}</math>가 [[유리수]]라고 하면, <math>\frac a b = \sqrt{2}</math>를 만족하고 [[서로 소 (수론)|서로 소]]인 [[정수]] <math>a</math>와 <math>b</math>가 존재한다.
# 그렇다면 양변을 제곱한 식인 <math>\left( \frac a b \right)^2 = 2</math>가 성립한다.
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# 따라서, 처음의 가정이 잘못되었고, 결국 <math>\sqrt{2}</math>는 '''무리수'''이다.
=== 기하학적 증명 ===
[[파일:Irrationality of sqrt2.svg|right]]
오른쪽의 도형을 이용하여 2의 제곱근이 무리수임을 증명할 수 있다. 이 증명은 [[작도]]의 원칙에 따라 눈금 없는 곧은 자와 컴퍼스만을 이용한다.<ref>Apostol, Tom M. (2000), [http://jstor.org/stable/2695741 "Irrationality of the square root of two – A geometric proof"], American Mathematical Monthly 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741.</ref>
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* 이와 같이 {{frac|m|n}}은 무한히 더 작은 분수로 나타낼 수 있다. 그런데 이는 최초에 {{frac|m|n}}을 더 이상 약분될 수 없는 기약분수로 나타낼 수 있을 것이란 전제와 모순된다. 따라서 <math>\sqrt{2}</math>는 기약분수로 나타낼 수 없는 무리수이다.
== 주해 ==
<references group="주해"/>
== 주석 ==
{{주석}}
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[[분류:대수적 수]]
[[분류:수학 상수]]
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