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노름 공간: 두 판 사이의 차이

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1번째 줄:
{{다른 뜻 설명|‘노름’은 [[도박]]을 뜻하는 말이기도 하다.}}
 
[[수학선형대수학]]의 및 [[함수해석학]]에서 '''노름'''({{langllang|en|norm|놈}}), '''놈''', 또는 '''노음'''은 [[벡터공간]]의 벡터들에 대해원소들에 일종의 ‘길이’ 또는 ‘크기’를 부여하기 위한부여하는 함수로함수이다., [[선형대수학]] 및 [[함수해석학]] 등의 분야에서 쓰인다. 영 벡터의 노름은 0이며, 그 외의 모든 벡터는 양의 [[실수]] 노름을 갖는다. 한편, 영 벡터 이외의 벡터도 노름이 0이 될 수 있도록 조건을 약화한 것을 '''반노름'''({{lang|en|seminorm}})이라 한다.
 
예를 들어, '''R'''<sup>n</sup>에 [[유클리드 노름]]을 정의한 것을 n차원 [[유클리드 공간]]이라 하는데, 이 때 주어진 벡터의 노름은 원점으로부터의 직선거리가 된다.
 
노름이 주어진 [[벡터공간]]을 '''노름벡터공간''' 또는 '''노름공간'''이라 부르며, 반노름이 주어진 공간은 '''반노름공간'''이라고 한다.▼
 
== 정의 ==
F가 [[복소수체]]의 [[부분체]](예: [[실수체]]나<math>K</math>에 [[유리수체]] 등)이고 V가 그 위의대한 [[벡터공간]]이라 하자. 이때 <math>V 상의</math>의 '''반노름'''(半norm, {{llang|en|seminorm}})이란 [[함수]] p: V → '''R'''로서 임의의 F의 원소 a과 V의 원소 '''u''', '''v'''에 대해 다음의다음 두 조건을조건들을 만족하는만족시키는 것이다:[[함수]]
:<math>\Vert\cdot\Vert\colon V\to\mathbb R</math>
# p(a '''v''') = |a| p('''v''') (양의 동차성),
:<math>\Vert\cdot\Vert\colon v\mapsto\Vert v\Vert</math>
# p('''u''' + '''v''') ≤ p('''u''') + p('''v''') ([[삼각 부등식]] 혹은 [[준가법성]]).
이다.
* (양의 동차성) 임의의 <math>a\in K</math> 및 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>\Vert av\Vert=|a|\Vert v\Vert</math>
* ([[삼각 부등식]]) 임의의 <math>u,v\in V</math>에 대하여, <math>\Vert u+v\Vert\le\Vert u\Vert+\Vert v\Vert</math>
이 두 공리로부터 <math>\Vert v\Vert\in[0,\infty)</math>임을 알 수 있다.
 
<math>V</math>의 '''노름'''은 다음 조건을 추가로 만족시키는 반노름 <math>\Vert\cdot\Vert</math>이다.
위의 두 조건으로부터 p('''0''') = 0임을 알 수 있으며, 따라서 다음이 성립한다:
* (양의 정부호성) 모든 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>\Vert v\Vert=0</math>임은 <math>v=0</math>임과 [[동치]]이다.
: p('''v''') ≥ 0 (양수성).
▲노름이 주어진 [[벡터공간]]을 '''노름벡터공간노름공간'''({{llang|en|normed 또는 '''노름공간'''space}})이라 부르며, 반노름이 주어진 공간은 '''반노름공간'''({{llang|en|seminormed space}})이라고 한다.
 
여기에 더해, 반노름 p가 다음의 조건까지 만족하면 이를 '''노름'''이라 한다:
: p('''v''') = 0일 필요충분조건은 '''v''' = '''0''' (양의 정부호성).
 
많은 경우 벡터 '''v'''의 노름을 p('''v''') 대신 ||'''v'''|| 혹은 |'''v'''|로 나타낸다.
 
== 예 ==
=== 유클리드 공간에서의 노름 ===
{{본문|Lp 공간}}
 
[[파일:Vector norms.svg|프레임|오른쪽|서로 다른 노름공간에서 정의된 [[단위원]].]]
임의의 <math>1\le p\le\infty</math>에 대하여, [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 위에 다음과 같은 노름 <math>\Vert\cdot\Vert_p</math>을 정의할 수 있으며, 이를 '''ℓ<sup>''p''</sup> 노름'''이라고 한다.
*; ℓ<sup>p</sup>-노름 : <math>\textstyle ||Vert\mathbf{x}||_p\Vert_p = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1\over /p}</math>▼
여기서 <math>p=2</math>인 경우는 표준적인 [[유클리드 노름]]
*; 유클리드 노름 : <math> \textstyle ||Vert\mathbf{x}||\Vert_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2 }</math>▼
이다. 만약 <math>p=\infty</math>일 경우는 '''상한 노름'''({{llang|en|supremum norm}})
:<math>\Vert\mathbf{x}\Vert_\infty = \lim_{p\to\infty}\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}=\max\{ |x_1|, |x_2|, \dots, |x_n| \}</math>
이 된다. <math>p=1</math>인 경우는 '''[[맨해튼 거리|맨해튼 노름]]'''
*; ℓ<sup>1</sup>-노름 : <math>\textstyle ||Vert\mathbf{x}||_1\Vert_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|</math>▼
이 된다.
 
== 바깥 고리 ==
'''x'''를 유클리드 공간 '''R'''<sup>n</sup>의 [[원소 (수학)|원소]]라 하자.
* {{eom|title=Norm}}
 
* {{eom|title=Normed space}}
▲*; 유클리드 노름 : <math> \textstyle ||\mathbf{x}|| = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2 }</math>
* {{매스월드|id=Norm}}
 
* {{매스월드|id=NormedSpace|title=Normed space}}
▲*; ℓ<sup>1</sup>-노름 : <math>\textstyle ||\mathbf{x}||_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|</math>
* {{매스월드|id=Seminorm|title=Seminorm}}
 
*; 상한 노름 : <math>\textstyle ||\mathbf{x}||_\infty = \mathrm{max} \{ |x_1|, |x_2|, \cdots |x_n| \}</math>
 
▲*; ℓ<sup>p</sup>-노름 : <math>\textstyle ||\mathbf{x}||_p = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1\over p}</math>
 
[[분류:선형대수학]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/노름_공간"