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프레셰 공간: 두 판 사이의 차이

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{{다른 뜻|T1 공간|함수해석학에서 [[위상 벡터공간]]의 일종인 프레셰 공간|[[일반위상수학]]에서 T<sub>1</sub> 분리공리를 만족시키는 [[위상공간 (수학)|위상공간]]}}
[[함수해석학]]에서, '''프레셰 공간'''(Fréchet空間, {{llang|en|Fréchet space}})은 일련의 준노름들로[[반노름]]들로 위상을 정의할 수 있는 [[위상 벡터공간]]이다. [[바나흐 공간]]의 일반화이다. [[모리스 르네 프레셰]]의 이름을 땄다.
 
== 정의 ==
'''프레셰 공간'''은 다음 세 성질을 만족시키는 [[위상 벡터공간]] <math>X</math>이다.
* <math>X</math>는 [[하우스도르프 공간]]이다.
* <math>X</math>의 위상은 일련의 [[준노름반노름]](seminorm) <math>\|\cdot\|_k</math>, <math>k=1,2,3,\dots</math>들로 유도될 수 있다. 구체적으로, <math>U\subset X</math>가 [[열린 집합]]일 필요충분조건은 <math>\forall u\in U\exists K\ge0,\epsilon>0:(\forall x\in X,k\ge K\colon\|x-u\|_k<\epsilon\implies x\in U)</math>이다.
* 또한, <math>X</math>는 이 준노름들에[[반노름]]들에 대하여 [[완비공간]]이다.
다만, 프레셰 공간은 오직 [[위상 벡터공간]]의 구조만 갖추고 있고, 준노름을[[반노름]]을 정의하는 데이터를 갖지 않는다. 즉, 프레셰 공간은 그 위상이 일련의 준노름들로[[반노름]]들로 유도될 수 있는 위상 벡터공간이지만, 일련의 준노름을반노름을 갖추지는 않는다.
 
프레셰 공간은 다음과 같은, 위 정의와 동치인 조건으로 정의할 수도 있다. 위상 벡터공간 <math>X</math>가 프레셰 공간일 [[필요충분조건]]은 다음과 같다.
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== 성질 ==
프레셰 공간은 [[바나흐 공간]]의 일반화이다. 바나흐 공간은 노름을 갖추지만, 프레셰 공간은 반면 [[거리공간]] 또는 [[준노름반노름]]의 구조를 줄 수 있으나 노름을 갖출 필요는 없다. 모든 바나흐 공간은 프레셰 공간이지만 그 역은 성립하지 않는다.
 
프레셰 공간의 경우 [[함수해석학]]의 주요 정리들이 성립한다. 예를 들어, [[한-바나흐 정리]], [[열린 사상정리 (함수해석학)|열린 사상정리]], [[바나흐-스테인하우스 정리]](Banach–Steinhaus theorem) 등이 성립한다.
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== 예 ==
* 모든 [[바나흐 공간]]은 프레셰 공간이다.
* 벡터공간 <math>\mathcal C^\infty([0,1])</math>은 다음과 같은 준노름들로[[반노름]]들로 프레셰 공간을 이룬다.
::<math>\|f\|_k = \sup\{|f^{(k)}(x)|\colon x \in [0,1]\}\qquad(k=0,1,2,\dots)</math>
* 이와 유사하게, ''m''번 연속미분가능한 실함수들의 벡터공간 <math>\mathcal C^m(\mathbb R)</math>은 다음과 같이 프레셰 공간의 구조를 줄 수 있다.
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/프레셰_공간"