편미분방정식: 두 판 사이의 차이
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{{들머리|수학}}
== 정의 ==
<math>M</math>과 <math>N</math>이 매끈한 [[미분다양체]]라고 하자. '''편미분 방정식'''은 다음과 같은 꼴의 [[미분 방정식]]이다.
:<math>F(x,u,\nabla_iu,\nabla_i\nabla_ju,\dots,\nabla_{i_1}\cdots\nabla_{i_k}u)=0</math>
:<math>x\in M,\;u\colon M\to N</math>
여기서 미분 연산자의 최고 차수 <math>k</math>를 편미분 방정식의 '''차수'''({{llang|en|order}})라고 하며, 이러한 꼴의 편미분 방정식을 '''<math>k</math>차 편미분 방정식'''이라고 한다. 만약 다양체 <math>N</math>이 2차원 이상이라면 이를 '''연립 편미분 방정식'''이라고 하며, 만약 <math>N</math>이 1차원이라면 '''비연립 편미분 방정식'''이라고 한다.
== 분류 ==
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타원형·포물형·쌍곡형 방정식들은 각각 현저히 다른 현상을 보인다.
=== 선형 편미분 방정식 ===
매끈한 미분다양체 <math>M</math>에서 [[벡터공간]] <math>V</math>로 가는 함수 <math>u\colon M\to V</math>에 대한 '''선형 편미분 방정식'''은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>c_0(x)u(x)+c_1^i(x)\nabla_iu(x)+c_2^{ij}(x)\nabla_i\nabla_ju(x)+\cdots+c_k^{i_1\cdots i_k}(x)\nabla_{i_1}\cdots\nabla_{i_k}u(x)=0</math>
이는 <math>M</math> 위의, <math>V</math>값을 갖는 매끈한 함수들의 벡터공간 <math>\mathcal C^\infty(M,V)</math> 위에 정의된 [[선형작용소]]의 [[고윳값]] 방정식이다. 즉, 이 경우 해 <math>u(x)</math>는 선형작용소
:<math>T=c_0(x)+c_1^i(x)\nabla_i+\cdots+c_k^{i_1\cdots i_k}(x)\nabla_{i_1}\cdots\nabla_{i_k}</math>
에 대하여 고윳값이 0인 고유벡터를 이룬다. 이 경우, [[함수해석학]]과 [[작용소 이론]]을 적용할 수 있다.
== 예 ==
* [[열 방정식]]
* [[파동 방정식]]
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* {{서적 인용 | 성 = Kreyszig | 이름 = Erwin | 제목 = Advanced Engineering Mathematics | 판 = 8판 | 출판사 = John Wiley & Sons | 발행년도 = 1999 | isbn = 0-471-15496-2 }}
* {{저널 인용| 저자=Andrei D. Polyanin, William E. Schiesser, Alexei I. Zhurov| 제목= Partial differential equation | 저널 = Scholarpedia | 권= 3|호=10|쪽=4605|doi=10.4249/scholarpedia.4605}}
== 바깥 고리 ==
* {{eom|title=Differential equation, partial}}
* {{eom|title=Differential equation, partial, of the second order}}
* {{eom|title=Elliptic partial differential equation}}
* {{eom|title=Parabolic partial differential equation}}
** {{eom|title=Parabolic partial differential equation, numerical methods}}
* {{매스월드|PartialDifferentialEquation|제목=Partial Differential Equation}}
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