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독립 (확률론): 두 판 사이의 차이

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두 [[사건 (확률론)|사건]]이 '''독립'''(獨立, {{llang|en|independent}})이라는 것은, 둘 중 하나의 사건이 일어날 [[확률]]이 다른 사건이 일어날 [[확률]]에 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다. 예를 들어서, 주사위를 두 번 던지는 경우 첫 번째에 1이 나오는 사건은 두 번째에 1이 나올 확률에 독립적이다.
 
== 정의 ==
[[확률공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\Pr)</math> 위의 [[사건 (확률론)|사건]]들의 집합 <math>\mathcal S\subset\mathcal F</math>에 대하여, 만약 모든 유한집합 <math>\{S_1,\dots,S_n\}\subset\mathcal S</math>에 대하여
두 사건 <math>A, B</math>에 대해, 만약 <math>P(A)P(B) = P(A \cap B)</math>인 경우 '''독립'''이라고 정의한다.
:<math>\Pr(S_1\cap S_2\cap\cdots\cap S_n)=\Pr(S_1)\Pr(S_2)\cdots\Pr(S_n)</math>
이라면, <math>\mathcal S</math>가 서로 '''독립'''이라고 한다.
 
[[확률공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\Pr)</math> 위의, <math>\mathcal F</math>의 부분 [[시그마 대수]]들의 집합 <math>\mathfrak G\subset\mathcal P(\mathcal F)</math>이 다음 성질을 만족시킬 경우, <math>\mathfrak G</math>가 서로 '''독립'''이라고 한다.
사건들의 집합 <math>\mathcal{C}</math>에 대해, 임의의 유한개의 사건 <math>A_1, \cdots, A_n \in \mathcal{C}</math>이 <math>P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_n) = P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots A_n)</math>인 경우는 사건들이 '''상호 독립'''이라고 정의한다. 이 정의는 사건들의 수가 무한한 경우에도 마찬가지로 정의한다.
* 모든 유한집합 <math>\{\mathcal G_1,\dots,\mathcal G_n\}\subset\mathfrak G</math>에 대하여,
::<math>\forall S_1\in\mathcal G_1,\dots,S_n\in\mathcal G_n\colon\Pr\left(\bigcap_{i=1}^nS_i\right)=\prod\Pr(S_i)</math>
사건의 집합 <math>\mathcal S\in\mathcal F</math>에 대하여, 다음 두 명제가 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathcal S</math>는 사건의 집합으로서 서로 독립이다.
* <math>\{\sigma(S)|S\in\mathcal S\}</math>는 시그마 대수의 집합로서 서로 독립이다. 여기서 <math>\sigma(S)=\{\varnothing,S,\Omega\setminus S,\Omega\}</math>는 <math>S</math>를 포함하는 가장 작은 시그마 대수이다.
 
같은 확률공간 위에 정의된 (공역이 다를 수 있는) [[확률변수]]의 집합
[[확률변수]]에 대해서는 다음과 같이 정의한다. 두 확률변수 <math>X, Y</math>에 대해, 모든 <math>a, b \in \mathbb{R}</math>에 대해 두 사건 <math>[X \le a]</math>, <math>[Y \le b]</math>가 독립인 경우 두 확률변수는 '''독립'''이라고 정의한다.
:<math>X_\alpha\colon(\Omega,\mathcal F,\Pr)\to(S_\alpha,\mathcal G_\alpha)\qquad(\alpha\in I)</math>
에 대하여, [[시그마 대수]]
:<math>\mathcal F_\alpha=\{X_1^{-1}(T)|T\in\mathcal G_1\}\subset\mathcal F</math>
를 정의할 수 있다. 만약 <math>\{\mathcal F_\alpha\}_{\alpha\in I}</math>가 시그마 대수의 집합으로서 서로 독립일 경우, 확률변수의 집합 <math>\{X_\alpha\}_{\alpha\in I}</math>이 서로 '''독립'''이라고 한다.
 
== 성질 ==
상호 독립에 대해서도 마찬가지로 정의한다. 확률변수들의 집합 <math>\mathcal{X}</math>이 있을 때, 임의의 유한개의 확률변수 <math>X_1, \cdots, X_n \in \mathcal{X}</math>에 대해서 <math>[X_i \le a_i]</math>가 독립인 경우 전체 확률변수들이 '''상호 독립'''이다.
<math>X</math>와 <math>Y</math>가 같은 확률공간 위의 두 확률변수이며, <math>X</math>가 상수 변수 (즉, 공역이 자명한 [[시그마 대수]]를 갖춘 [[가측공간]])라면, <math>\{X,Y\}</math>는 서로 독립이다.
 
[[시그마 대수]]에 대해서도 비슷한 방식으로 정의한다. 두 [[시그마 대수]] <math>\mathcal{B}_1, \mathcal{B}_2</math>에 대해, 모든 <math>A_1 \in \mathcal{B}_1</math>, <math>A_2 \in \mathcal{B}_2</math>가 독립이면 두 [[시그마 대수]]는 '''독립'''이다. 상호 독립도 마찬가지로 정의한다.
 
== 바깥 고리 ==
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/독립_(확률론)"