단위원: 두 판 사이의 차이

26 바이트 제거됨 ,  8년 전
==단위원의 유리매개화==
 
단위원 위의 임의의 한 점 <math>P</math>를 유리매개화 하기 위해, 기울기가 <math>t</math> (<math>t</math> : 임의의 실수)이고 단위원 위의 한 점인 <math>(-1,0)</math>을 지나는 직선 <math>l</math>을 생각한다. 이 경우, 직선 <math>l</math>은 단위원과 2개의 교점을 갖는다. 하나는 <math>(-1,0)</math>, 다른 하나는 유리매개화를 하려고 하는 임의의 점 <math>P</math>가 된다. 따라서 단위원의 원의 방정식과 직선 <math>l</math>의 방정식을 연립하여 점 <math>P</math>의 좌표를 찾아낸다면, 임의의 실수 <math>t</math>에 대해 원 위의 모든 점(단, <math>(-1,0)</math>은 제외)을 유리매개화 할 수 있다.
 
이 경우, 직선<math>l</math>은 단위원과 2개의 교점을 갖는다. 하나는 <math>(-1,0)</math>, 다른 하나는 유리매개화를 하려하고 하는 임의의 점 <math>P</math>가 된다.
 
따라서 단위원의 원의 방정식과 직선<math>l</math>의 직선의 방정식을 연립하여 점 <math>P</math>의 좌표를 찾아낸다면, 임의의 실수 <math>t</math>에 대해 원 위의 모든 점(단, <math>(-1,0)</math> 제외)을 유리매개화 할 수 있다.
 
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직선ℓ의:단위원의 직선의원의 방정식 : <math>x^2 + y^2 =tx+t 1.</math>
 
단위원의:직선ℓ의 원의직선의 방정식 : <math>x^2 + y^2 = 1tx+t.</math>
 
직선ℓ의 직선의 방정식 : <math>y=tx+t</math>
 
 
직선<math>l</math>의 방정식을 원의 방정식에 대입하여 변수 <math>y</math>를 소거하면 <math>x</math>에 대한 이차방정식을 얻을 수 있다.
:<math>x^2+t^2x^2+2t^2x(tx+t)^2-=1=0.</math>
 
:<math>\Rightarrow x^2+(txt^2x^2+2t^2x+t)^2=-1=0.</math>
:<math>\Rightarrow (1+t^2)x^2+2t^2x+(t^2-1)=0.</math>
 
:<math>x^2+t^2x^2+2t^2x+t^2-1=0</math>
 
:<math>(1+t^2)x^2+2t^2x+(t^2-1)=0</math>
 
 
얻어낸 <math>x</math>의 이차방정식을 근의 공식을 이용하여 근을 찾아내면 그것이 점 <math>P</math>의 <math>x</math>좌표가 된다.
:<math>x=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-(t^2-1)(t^2+1)\ }}{(1+t^2)}=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-(t^4-1)\ }}{(1+t^2)}=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-t^4+1)\ }}{(1+t^2)}=\frac{t^2 \pm1}{1+t^2}.</math>
:<math>\therefore x=-1 </math> <math> or</math> 또는 <math> x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.</math>
 
따라서, 점 <math>P</math>의 <math>x</math>좌표는 <math> x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math>이다. <math>x</math>좌표를 직선 <math>l</math>의 방정식에 대입하여 <math>y</math>좌표도 찾아, 점 <math>P</math>의 좌표를 완성시키면 다음과 같다.
:단위원과 직선<math>l</math>의 교점 : <math>P</math><math>=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)</math>.
 
이와 같은 방식으로 원과 두 개의 교점을 갖는 직선을 이용하여 단위원 위의 모든 점의 좌표를좌표(단, <math>(-1,0)</math>제외, <math>t</math>가 <math>\pm\infty</math>로 발산하는 경우 점 <math>P</math>는 <math>(-1,0)</math>로 수렴한다) 임의의 실수 <math>t</math>에 대한 식으로 나타내는 것을 '단위원의 유리매개화'라고 한다.
:<math>x=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-(t^2-1)(t^2+1)\ }}{(1+t^2)}=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-(t^4-1)\ }}{(1+t^2)}=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-t^4+1)\ }}{(1+t^2)}=\frac{t^2 \pm1}{1+t^2}</math>
 
 
:<math>\therefore x=-1 </math> <math> or</math> <math> x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math>
 
 
따라서, 점 <math>P</math>의 <math>x</math>좌표는 <math> x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math>이다. <math>x</math>좌표를 직선 <math>l</math>의 방정식에 대입하여 <math>y</math>좌표도 찾아, 점 <math>P</math>의 좌표를 완성시키면 다음과 같다.
 
 
단위원과 직선<math>l</math>의 교점 : 점 <math>P</math><math>(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})</math>
 
 
이와 같은 방식으로 원과 두 개의 교점을 갖는 직선을 이용하여 단위원 위의 모든 점의 좌표를(단, <math>(-1,0)</math>제외, <math>t</math>가 <math>\infty</math>로 발산하는 경우 점<math>P</math>는 <math>(-1,0)</math>로 수렴한다) 임의의 실수<math>t</math>에 대한 식으로 나타내는 것을 '단위원의 유리매개화'라 한다.
 
== 복소평면의 단위원 ==

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