2014년 11월 1일 (토) 02:22 판 편집 DoubleKY (토론 \| 기여) 9 편집 →‎단위원의 삼각매개화 ← 이전 편집		2014년 11월 3일 (월) 21:00 판 편집 편집 취소 Bodewig KU (토론 \| 기여) 69 편집 →‎단위원의 유리매개화 다음 편집 →
28번째 줄: ==단위원의 유리매개화== 단위원 위의 임의의 한 점 <math>P</math>를 유리매개화 하기 위해, 기울기가 <math>t</math> (<math>t</math> : 임의의 실수)이고 단위원 위의 한 점인 <math>(-1,0)</math>을 지나는 직선 <math>l</math>을 생각한다. 이 경우, 직선 <math>l</math>은 단위원과 2개의 교점을 갖는다. 하나는 <math>(-1,0)</math>, 다른 하나는 유리매개화를 하려고 하는 임의의 점 <math>P</math>가 된다. 따라서 단위원의 원의 방정식과 직선 <math>l</math>의 방정식을 연립하여 점 <math>P</math>의 좌표를 찾아낸다면, 임의의 실수 <math>t</math>에 대해 원 위의 모든 점(단, <math>(-1,0)</math>은 제외)을 유리매개화 할 수 있다. 이 경우, 직선<math>l</math>은 단위원과 2개의 교점을 갖는다. 하나는 <math>(-1,0)</math>, 다른 하나는 유리매개화를 하려하고 하는 임의의 점 <math>P</math>가 된다. 따라서 단위원의 원의 방정식과 직선<math>l</math>의 직선의 방정식을 연립하여 점 <math>P</math>의 좌표를 찾아낸다면, 임의의 실수 <math>t</math>에 대해 원 위의 모든 점(단, <math>(-1,0)</math> 제외)을 유리매개화 할 수 있다. <gallery> 줄 38 ⟶ 34: </gallery> ~~직선ℓ의~~:단위원의 ~~직선의~~원의 방정식 : <math>x^2 + y^2 =~~tx+t~~ 1.</math>▼ ~~단위원의~~:직선ℓ의 원의직선의 방정식 : <math>~~x^2 +~~ y^2 = 1tx+t.</math> ▲직선ℓ의 직선의 방정식 : <math>y=tx+t</math> 직선<math>l</math>의 방정식을 원의 방정식에 대입하여 변수 <math>y</math>를 소거하면 <math>x</math>에 대한 이차방정식을 얻을 수 있다. :<math>x^2+~~t^2x^2+2t^2x~~(tx+t)^2-=1=0.</math>▼ :<math>\Rightarrow x^2+~~(tx~~t^2x^2+2t^2x+t)^2=-1=0.</math> :<math>\Rightarrow (1+t^2)x^2+2t^2x+(t^2-1)=0.</math>▼ ▲:<math>x^2+t^2x^2+2t^2x+t^2-1=0</math> ▲:<math>(1+t^2)x^2+2t^2x+(t^2-1)=0</math> 얻어낸 <math>x</math>의 이차방정식을 근의 공식을 이용하여 근을 찾아내면 그것이 점 <math>P</math>의 <math>x</math>좌표가 된다. :<math>x=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-(t^2-1)(t^2+1)\ }}{(1+t^2)}=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-(t^4-1)\ }}{(1+t^2)}=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-t^4+1)\ }}{(1+t^2)}=\frac{t^2 \pm1}{1+t^2}.</math>▼ :<math>\therefore x=-1 </math> ~~<math> or</math>~~ 또는 <math> x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.</math>▼ 따라서, 점 <math>P</math>의 <math>x</math>좌표는 <math> x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math>이다. <math>x</math>좌표를 직선 <math>l</math>의 방정식에 대입하여 <math>y</math>좌표도 찾아, 점 <math>P</math>의 좌표를 완성시키면 다음과 같다.▼ :단위원과 직선<math>l</math>의 교점 : 점 <math>P~~</math><math>~~=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)</math>.▼ 이와 같은 방식으로 원과 두 개의 교점을 갖는 직선을 이용하여 단위원 위의 모든 점의 ~~좌표를~~좌표(단, <math>(-1,0)</math>제외, <math>t</math>가 <math>\pm\infty</math>로 발산하는 경우 점 <math>P</math>는 <math>(-1,0)</math>로 수렴한다)를 임의의 실수 <math>t</math>에 대한 식으로 나타내는 것을 '단위원의 유리매개화'라라고 한다.▼ ▲:<math>x=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-(t^2-1)(t^2+1)\ }}{(1+t^2)}=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-(t^4-1)\ }}{(1+t^2)}=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-t^4+1)\ }}{(1+t^2)}=\frac{t^2 \pm1}{1+t^2}</math> ▲:<math>\therefore x=-1 </math> <math> or</math> <math> x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math> ▲따라서, 점 <math>P</math>의 <math>x</math>좌표는 <math> x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math>이다. <math>x</math>좌표를 직선 <math>l</math>의 방정식에 대입하여 <math>y</math>좌표도 찾아, 점 <math>P</math>의 좌표를 완성시키면 다음과 같다. ▲단위원과 직선<math>l</math>의 교점 : 점 <math>P</math><math>(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})</math> ▲이와 같은 방식으로 원과 두 개의 교점을 갖는 직선을 이용하여 단위원 위의 모든 점의 좌표를(단, <math>(-1,0)</math>제외, <math>t</math>가 <math>\infty</math>로 발산하는 경우 점<math>P</math>는 <math>(-1,0)</math>로 수렴한다) 임의의 실수<math>t</math>에 대한 식으로 나타내는 것을 '단위원의 유리매개화'라 한다. == 복소평면의 단위원 ==

단위원: 두 판 사이의 차이