연결 공간: 두 판 사이의 차이
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[[파일:Connected and disconnected spaces.svg|thumb|250px|A는 '''R'''²의 연결 부분공간이며, B는 비연결 부분공간이다.]]
[[
== 정의 ==
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=== 연결 성분 ===
임의의 위상공간 <math>X</math>에 대하여, 그 연결 [[부분공간]]들의 집합 포함 관계에 따라서 [[부분순서집합]]을 이룬다. 또한, 주어진 점 <math>x_0\in X</math>을 포함하는 모든 연결 부분공간들의 부분순서집합은 최대 원소를 가지며, 이를 <math>x_0</math>의 '''연결 성분'''(連結成分, {{llang|en|connected component}})이라 한다. 각 연결 성분들은 [[서로소 집합|서로소]]이며, <math>X</math>는 그 연결 성분들의 [[서로소 합집합]]이다.
연결 성분은 항상 [[닫힌
=== 노상연결공간 ===
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* 만약 <math>X</math>가 연결공간이라면 <math>f</math>의 [[상 (수학)|상]] <math>f(X)</math> 또한 연결공간이다.
* 만약 <math>X</math>가 노상연결공간이라면 <math>f</math>의 [[상 (수학)|상]] <math>f(X)</math> 또한 노상연결공간이다.
(단위원을 갖는) [[가환환]] <math>R</math>에 대하여, 다음이 서로 [[동치]]이다.
* <math>R</math>의 [[스펙트럼 (환론)|스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}(R)</math>는 연결공간이다.
* <math>R</math>의 모든 유한 생성 [[사영 가군]]은 상수 계수({{llang|en|rank}})를 갖는다.
* 모든 <math>r\in R</math>에 대하여, 만약 <math>r^2=r</math>라면, <math>r=0</math>이거나 <math>r=1</math>이다.
* 만약 <math>R\cong R_1\times R_2</math>인 [[가환환]] <math>R_1</math>, <math>R_2</math>가 존재한다면, <math>R_1</math> 또는 <math>R_2</math>는 [[자명환]]이다.
== 예 ==
연결공간의 예로는 다음을 들 수 있다.
[[공집합]]은 자명하게 연결공간이며, 또한 노상연결공간이자 호상연결공간이다. 하나의 점을 갖는 공간 <math>\{\bullet\}</math> 역시 자명하게 (노상/호상) 연결공간이다.▼
* [[공집합]]은 자명하게 연결공간이며, 또한 노상연결공간이자 호상연결공간이다.
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* 실수선 <math>\mathbb R</math>은 연결공간이다.
* 연결 [[위상체]]에 대한 모든 [[위상벡터공간]]은 연결공간이다. 특히, 모든 [[유클리드 공간]]은 연결공간이다.
* [[이산 값매김환]]의 [[스펙트럼 (환론)|스펙트럼]]은 두 개의 점을 갖는 위상공간 <math>\{0,1\}</math>이며, 그 [[기저 (위상수학)|기저]]는 <math>\{\{1\}, \{0,1\}\}</math>이다. 이는 연결공간이다.
=== 노상연결이 아닌 연결공간 ===
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