"초한귀납법"의 두 판 사이의 차이

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[[집합론]]에서, '''초한귀납법'''(超限歸納法, {{llang|en|transfinite induction}})은 [[수학적 귀납법]]을 [[자연수]]뿐만이 아니라 일반적인 [[정렬집합]]에 적용할 수 있도록 확장한 것이다. 모든 [[서수순서수]]나 [[기수 (수학)|기수]]에 대한 명제를 증명할 때 사용된다.
 
== 정의 ==
'''초한귀납법'''은 특정한 성질 P(α)가 모든 [[서수순서수]] α에 대해 성립함을 증명하기 위한 방법이다. 초한귀납법은 다음을 증명한다.
 
* 임의의 [[서수순서수]] α에 대해, α보다 작은 모든 γ에 대해 P(γ)가 성립한다면 P(α)라는 것을 증명한다.
 
보통 이 증명 과정은 다음의 세 단계로 나뉜다.
 
* P(0)이 성립함을 증명한다.
* 임의의 [[따름서수따름순서수]] β+1에 대해, P(β)를 가정하고(혹은 β 이하의 모든 γ에 대해 P(γ)를 가정하고) P(β+1)을 증명한다.
* 임의의 [[극한서수극한순서수]] λ에 대해, λ보다 작은 모든 γ에 대해 P(γ)를 가정하고 P(λ)를 증명한다.
 
즉, 위의 세 가지 성질이 성립할 경우 P(α)는 모든 서수순서수 α에 대해 참이다. 이 과정에서 수학적 귀납법과 차이가 되는 부분은 극한서수인데극한순서수인데, 따름서수는따름순서수는 P(β)를 가정하고 P(β+1)을 증명하여도 되지만 극한서수는극한순서수는 계속 1을 더해가는 방법으로는 전부 만들어낼 수 없기에 극한서수의극한순서수의 경우를 따로 고려해준다는 것뿐이다.
만약 따름서수의따름순서수의 경우에도 β보다 작은 모든 γ에 대해 P(γ)가 성립한다는 것을 가정하는 경우, 따름서수와따름순서수와 극한서수의극한순서수의 조건은 동일하다. 다만 일반적으로 두 경우 증명 방법이 크게 달라지기 때문에 이를 구분하는 것이 편리한 것 뿐이다.
 
== 초한반복 ==
'''초한반복'''(transfinite recursion)은 집합들의 열 A<sub>α</sub>를 모든 서수순서수 α에 대해 정의하기 위해 초한귀납법과 유사한 과정을 사용한다. 구체적으로는 다음의 세 단계가 필요하다.
*A<sub>0</sub>을 정의한다.
*임의의 따름서수따름순서수 β+1에 대해, A<sub>β</sub>가 주어져 있을 때 A<sub>β+1</sub>를 정의하는 방법을 규정한다. (필요할 경우 β보다 작은 모든 γ에 대해 A<sub>γ</sub>에도 의존하도록 정의해도 된다.)
*임의의 극한서수극한순서수 λ에 대해, λ보다 작은 모든 γ에 대해 A<sub>γ</sub>들이 주어져 있을 때 A<sub>λ</sub>을 정의하는 방법을 규정한다.
 
보다 형식적으로는, 초한반복 정리의 내용은 다음과 같다.
:모임 함수 <b>G<sub>1</sub></b>, <b>G<sub>2</sub></b>, <b>G<sub>3</sub></b>에 대해, 다음을 만족하는 초한 수열 <b>F</b>가 유일하게 존재한다:
:*<b>F</b>의 정의역은 모든 서수의순서수의 모임
:*<b>F</b>(0) = <b>G<sub>1</sub></b>(<math>\emptyset</math>)
:*모든 서수순서수 α에 대해, <b>F</b>(α+1) = <b>G<sub>2</sub></b>(<b>F</b>(α))
:*모든 0이 아닌 극한서수극한순서수 α에 대해, <b>F</b>(α) = <b>G<sub>3</sub></b>(<b>F</b><math>\upharpoonright</math>α).
 
==선택공리와의 관계==