구조 (논리학): 두 판 사이의 차이

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만약 <math>\phi</math> 속에 변수 <math>x_i</math>가 등장하지만 <math>\forall x_i\colon</math>가 등장하지 않는다면, <math>x_i</math>를 '''자유 변수'''({{llang|en|free variable}})라고 하고, <math>\forall x_i\colon</math>가 등장한다면 <math>x_i</math>를 '''제한 변수'''({{llang|en|bound variable}})라고 한다.
 
부호수 <math>\sigma</math>의 언어에 속하는 명제 <math>\phi</math>가 <math>n</math>개의 자유 변수 <math>\vec x=(x_1,\dots,x_n)</math>을 갖는다고 하자. 부호수 <math>\sigma</math>의 구조 <math>M</math> 및 <math>\vec a\in M^n</math>에 대하여, 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 조건이 성립한다면, <math>M</math>이 <math>\phi</math>를 치환 <math>\vec x\mapsto\vec a</math> 아래 '''만족시킨다'''(滿足시킨다, {{llang|en|satisfy}})고 하고, <math>M\models\phi[\vec a/\vec x]</math>라고 쓴다. 여기서 부호수의 언어의 논리 기호 <math>=</math>, <math>\lnot</math>, <math>\land</math>, <math>\forall</math>은 메타 언어의 논리 기호와 구별하기 위하여 [[따옴표]] <math>\text{'}\cdots\text{'}</math> 속에 적었다.
* <math>M\models\text{'}t_1=t_2\text{'}[\vec a/\vec x]\iff t_1[\vec a/\vec x]=t_2[\vec a/\vec x]</math>. 여기서 <math>t[\vec a/\vec x]</math>는 항 <math>t</math> 속에 등장하는 모든 변수 <math>x_i</math>를 이에 대응하는 <math>a_i</math>로 치환하고, <math>t</math> 속에 등장하는 모든 연산 <math>f\in F</math>를 <math>f_M</math>으로 치환하여 얻은 원소 <math>\in M</math>이다.
* <math>M\models R(t_1,\dots,t_n)[\vec a/\vec x]\iff R_M(t_1/[\vec a/\vec x],\dots,t_n[\vec a/\vec x])</math>
* <math>M\models\text{'}\phi\land\chi\text{'}\iff(M\models\phi)\land(M\models\chi)</math>
* <math>M\models\text{'}\forall y\colon\phi(y)\text{'}[\vec a/\vec x]\iff\forall b\in M\colon M\models\phi[(\vec a,b)/(\vec x,y)]</math>
부호수 <math>\sigma</math>의 언어에서, <math>n</math>개의 자유 변수 <math>\vec x</math>를 갖는 명제 <math>\phi</math>에 대하여, 만약 <math>M\models\phi[\vec a/\vec x]</math>인 <math>\sigma</math>-구조 <math>M</math> 및 <math>\vec a\in M^n</math>이 존재한다면, <math>\phi</math>를 '''만족 가능 명제'''(滿足可能命題, {{llang|en|satisfiable formula}})라고 한다.
 
부호수 <math>\sigma</math>의 언어에서, 자유 변수가 없는 명제들의 집합을 '''이론'''(理論, {{llang|theory}})이라고 한다. 이론 <math>\mathcal T</math>의 '''모형'''(模型, {{llang|en|model}})은 모든 <math>\phi\in\mathcal T</math>에 대하여 <math>M\models\phi</math>인 <math>\sigma</math>-구조 <math>M</math>이다.
 
== 참고 문헌 ==