"한붓그리기"의 두 판 사이의 차이

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[[파일:Königsberg_graph.svg|thumb|165px|쾨니히스베르크의 다리 그래프. 이 그래프는 오일러 트레일을한붓그리기를 갖지 않는다.]]
 
[[그래프 이론]]에서, '''한붓그리기''' 또는 '''오일러 트레일'''({{llang|en|Eulerian trail}}) 또는 '''한붓그리기'''는 [[그래프]]의 모든 변을 단 한 번씩만 통과하는 [[그래프 이론 용어사전|트레일]]이다.
 
== 정의 ==
(단순) 그래프 <math>G</math> 위의 '''오일러 트레일한붓그리기''' 또는 '''한붓그리기오일러 트레일'''는 그래프의 모든 변을 포함하는 [[그래프 이론 용어사전|트레일]]이다. (정의에 따라, 트레일은 변을 중복해서 거칠 수 없다.) '''닫힌 오일러 트레일한붓그리기'''은 시작점과 끝점이 같은 오일러 트레일이다. 일부 저자들은 닫힌 트레일을 '''회로'''({{llang|en|circuit}})라고 부르며, 이 경우 닫힌 오일러 트레일은한붓그리기는 '''오일러 회로'''({{llang|en|Eulerian circuit}})가 된다.
 
(단순) 유한 [[그래프]] <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>G</math>는 닫힌 오일러 트레일을한붓그리기를 가진다.
* <math>G</math>는 연결 그래프이며, <math>G</math>의 모든 꼭짓점의 차수는 짝수이다.
닫힌 오일러 트레일을 갖는 그래프를 '''오일러 그래프'''({{llang|en|Eulerian graph}})라고 한다.
 
(단순) 유한 [[그래프]] <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>G</math>는 오일러 트레일을한붓그리기를 가진다.
* <math>G</math>는 연결 그래프이며, <math>G</math>의 홀수 차수 꼭짓점의 수는 0 또는 2이다.
만약 홀수 차수 꼭짓점이 2개 존재하는 경우, <math>G</math>의 오일러 트레일은한붓그리기는 이들 점들을 시작점·끝점으로 한다.
 
== 역사와 어원 ==
1736년에 [[레온하르트 오일러]]가 [[쾨니히스베르크의 다리 문제]]를 풀기 위하여 도입하였다. 이는 [[그래프 이론]]의 시초로 여겨진다.
 
"한붓그리기"라는 이름은 그래프를 붓으로 종이 위에 그리는 것에 빗댄 것이다. 그래프를 오일러 트레일을한붓그리기를 따라 그리게 되면 붓을 종이에서 떼지 않고, 이미 그린 변을 덧칠할 필요 없이 그릴 수 있다.
 
== 바깥 고리 ==