위키백과

르베그 측도: 두 판 사이의 차이

입체적으로 역사 찾아보기
← 이전 편집다음 편집 →
내용 삭제됨 내용 추가됨
시각위키텍스트
잔글편집 요약 없음
잔글편집 요약 없음
6번째 줄:
구체적으로, 이는 다음과 같다. <math>\mathbb R^n</math> 위의 르베그 측도는 <math>\mathbb R</math> 위의 르베그 측도의 [[곱측도]]로 정의할 수 있으므로, <math>\mathbb R</math> 위의 측도를 정의하는 것으로 족하다. <math>\mathbb R</math> 위의 ''르베그 외측도''' <math>\lambda\colon\mathcal P(\mathbb R)\to[0,\infty]</math>는 다음과 같다.
:<math>\lambda^*(S) = \inf\left\{\sum_{i=1}^\infty|b_i-a_i|\colon a_i,b_i\in\mathbb R,\;S\subset\bigcup_{i=1}^\infty[a_i,b_i]\right\}</math>
'''르베그 가측집합가측 집합'''은 다음 성질을 만족시키는 집합 <math>S\subset\mathbb R</math>이다.
* 모든 <math>T\subset\mathbb R</math>에 대하여, <math>\lambda^*(S)=\lambda^*(S\cap T)+\lambda^*(S\setminus T)</math>
르베그 가측집합의가측 집합의 집합 <math>\mathcal L</math>은 [[시그마 대수]]를 이룸을 보일 수 있다.
<math>\mathbb R</math> 위의 '''르베그 측도''' <math>\lambda=\lambda^*|_{\mathcal L}</math>는 르베그 가측집합에 국한시킨 르베그 외측도이며, <math>(\mathbb R,\mathcal L,\lambda)</math>는 [[측도공간]]을 이룸을 보일 수 있다.
 
== 성질 ==
<math>k</math>차원 유클리드 공간에 대해, 르베그 측도 <math>\lambda</math>는 다음의 성질을 만족한다.
* 모든 [[보렐 집합]]은 르베그 가측집합이다가측 집합이다.
* 르베그 측도는 [[완비 측도]]이다. 즉, 어떤 집합이 측정르베그 가능하고가측 측도집합이며 측도가 0이면, 그 부분집합 또한 측정가측 가능하다집합이다.
* 르베그(이동 측도는불변성 이동불변성을{{llang|en|translation 갖는다. 즉,invariance}}) 임의의 르베그 가측 집합 <math>EA\subset\mathbb R</math>와 벡터 <math>a b\in \mathbb{ R}^k</math>에 대해, <math>EA + ab := \{x+a:+b\colon xa \in EA\}</math>는 측정역시 가측 가능하며집합이며 <math>E</math>와 같은 측도를 갖는다.
 
=== 르베그 가측 집합 ===
[[비탈리 집합|비탈리 정리]]에 따르면 [[선택공리선택 공리]]를 가정할 경우 모든 집합의 르베그 측도를 할당하는 것은 불가능하다. 르베그 측정이 불가능한 집합은 [[바나흐-타르스키 역설]] 등의 결과를 가져온다. [[비탈리 집합]]은 르베그 측정이 불가능한 집합의 한 예이다. 반면, [[결정 공리]]를 사용할 경우에는 실수의 부분집합은 모두 측정가능하다는 것을 증명할 수 있다.
 
선택공리를선택 공리를 가정하자. 유클리드 공간의 르베그 가측 집합의 수는 <math>\beth_2=2^{2^{\aleph_0}}</math>이지만, [[보렐 집합]]의 수는 <math>\beth_1=2^{\aleph_0}</math>이다. 즉, 거의 모든 르베그 가측 집합은 보렐 집합이 아니다.
 
모든 르베그 가측 집합 <math>L</math>은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/르베그_측도"