"모임 (수학)"의 두 판 사이의 차이

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[[수학]]의 [[집합론]] 및 이를 기초로 하는 여러 분야에서에서, '''모임'''({{llang|en|class|클래스}})은 특정한 성질을 만족하는 [[집합]](혹은 그 외의 수학적 대상)을 모은 것을 말한다것이다. 모임 중에서는 집합인 것도 있고 집합이 아닌 것도 있는데,모임은 전자의지나치게 예로는커서 [[자연수집합]] 집합의 모든 [[부분집합]]들의아닐 모임이 있고있으며, 후자의 예로는 모든 [[순서수]]들의 모임이나 모든 [[집합]]들의 모임이 있다. 이와 같이이렇게 집합이 아닌 모임을 '''고유모임고유 모임'''(固有모임, {{llang|en|proper class}})이라고 한다.
 
== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]]를 비롯한 수학의 많은 대상들은 집합이 되기에는 지나치게 커서, 모임을 이용해 나타낼 수밖에 없다. 어떤 대상이 고유모임임을 보이기 위해 자주 사용되는 방법으로, 그 대상에 적어도 순서수 만큼이나 많은 원소를 갖고 있음을 보이는 방법이 있다.
=== 체르멜로-프렝켈 집합론에서의 정의 ===
'''모임'''의 정의는 표준적인 [[집합론]]([[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 확장)에서는 형식적으로 다룰 수 없고, 비형식적으로만 다루어진다. 이 경우, "모임"은 어떤 1변수 술어 <math>\phi(x)</math>와 동의이다. 술어 <math>\phi</math>에 대응하는 모임은 보통
:<math>\{x\colon\phi(x)\}</math>
로 쓰며,
:<math>\phi(x)\stackrel{\text{def}}\iff x\in\{y\colon\phi(y)\}</math>
이다. 술어 <math>\phi(x)</math>에 대하여, 만약
:<math>\phi(x)\iff x\in S</math>
인 집합 <math>S</math>가 존재한다면, 모임 <math>\{x\colon\phi(x)\}</math>를 집합 <math>S</math>로 간주한다. 이렇게 집합으로 간주할 수 없는 모임을 '''고유 모임'''이라고 한다.
 
두 술어 <math>\phi,\chi</math>에 대하여, 만약 <math>\phi(x)</math>가 <math>\chi(x)</math>를 [[함의]]한다면, <math>\{x\colon\phi(x)\}</math>가 <math>\{x\colon\chi(x)\}</math>의 '''부분 모임'''({{llang|en|subclass}})이라고 한다.
고유모임은 집합이나 모임의 원소가 될 수 없으며, [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 적용 대상이 아니다. 따라서, [[소박한 집합론]]의 여러 역설은 더이상 발생하지 않는다. 그 대신 이 역설들은 특정한 모임이 고유모임이라는 증명이 된다. 예를 들어,
:<math>\left(\forall x\colon\phi(x)\implies\chi(x)\right)\stackrel{\text{def}}\iff\{x\colon\phi(x)\}\subset\{x\colon\chi(x)\}</math>
* [[러셀의 역설]]은 자기 자신을 포함하지 않는 모든 집합들의 모임이 고유모임임을 증명한다.
마찬가지로, 두 모임의 합모임·교모임·차모임 등을 정의할 수 있다.
* [[칸토어 역설]]은 모든 [[기수 (수학)|기수]]의 모임이 고유모임임을 증명한다.
 
* [[부랄리포르티 역설]]은 모든 [[순서수]]의 모임이 고유모임임을 증명한다.
=== 모임 이론에서의 정의 ===
[[폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론]]이나 [[모스-켈리 이론]] 등에서는 다루는 대상이 기본적으로 집합이 아니라 모임이다. 이 경우, 이론에서 다루는 모든 대상은 모임이며, 모임 <math>X</math> 가운데 이를 원소로 포함하는 다른 모임이 있을 경우 '''집합'''이라고 한다.
:<math>\operatorname{Set}(X)\iff\exists Y\colon X\in Y</math>
집합이 아닌 모임은 '''고유 모임'''이라고 한다.
 
=== 기타 집합론에서의 정의 ===
[[새 기초]]({{llang|en|New Foundations}})와 같은 이론의 경우에도 집합이 아닌 모임이 존재하나, 이 경우 집합은 고유 모임인 부분 모임을 가질 수 있다.
 
== 성질 ==
[[체르멜로-프렝켈 집합론]]이나 [[폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론]], [[모스-켈리 이론]] 등에서는 다음이 성립한다. (이들 가운데 일부는 [[새 기초]] 등에서 성립하지 않는다.) 모임 <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 [[집합]]이다.
* <math>X</math>의 모든 부분 모임은 [[집합]]이다.
* <math>X</math>를 원소로 하는 모임이 존재한다.
* <math>X</math>를 원소로 하는 [[집합]]이 존재한다.
* <math>X</math>를 원소로 하는 고유 모임이 존재한다.
* <math>X</math>와 [[일대일 대응]]을 갖지 않는 [[고유 모임]]이 존재한다.
* <math>X</math>은 임의의 [[고유 모임]]에 대하여 일대일 대응을 갖지 않는다.
 
== 예 ==
모든 [[집합]]은 모임이다. 고유 모임의 예로는 다음을 들 수 있다. 이들 가운데 여럿의 경우, 이들이 집합이 아니라는 정리는 [[역설]]로 불린다. 이는 [[집합론]]의 초기에는 집합과 고유 모임의 차이가 명확하지 않았기 때문에 이들이 모순적으로 여겨졌기 때문이다.
* 모든 집합의 모임 <math>V=\{x\colon x=x\}</math>. ([[폰 노이만 전체]])
* 모든 기수의 모임 <math>\operatorname{Card}</math>. 이는 [[칸토어 역설]]에 따라 고유 모임이다.
* 모든 [[순서수]]의 모임 <math>\operatorname{Ord}</math>. 이는 [[부랄리포르티 역설]]에 따라 고유 모임이다.
* 스스로를 원소로 갖지 않는 집합의 모임 <math>\{x\colon x\in x\}</math>. 이는 [[러설의 역설]]에 따라 고유 모임이다. 사실, 정칙성 공리({{llang|en|aximo of regularity}})에 따라 이는 전체 모임 <math>V</math>와 같다.
* 모든 [[군 (수학)|군]]들의 모임, 모든 [[환 (수학)|환]]들의 모임, 모든 [[위상공간 (수학)|위상공간]]들의 모임 따위 역시 고유 모임이다. 이러한 고유 모임들은 [[범주론]]에서 자주 다루게 된다.
 
== 바깥 고리 ==