"거리화 가능 공간"의 두 판 사이의 차이

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'''거리화 정리'''(距離化定理, {{llang|en|metrization theorem}})란 [[위상수학]]에서 주로 다루는 주제인 '''거리화'''({{llang|en|metrization}})에 관련된 정리를 의미한다. 이 문서에서는 발견한 수학자의 이름이 붙을 정도로 유명한 정리들만을 나열할 것이다. 관련 분야에 관해 초기의 업적으로는 [[러시아]] 수학자인 [[파벨 사무일로비치 우리손]]의 것이 유명하다.
 
== 거리화정의 ==
'''거리화 가능 공간'''({{llang|en|metrizable space}})은 다음 조건을 만족시키는 [[위상공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X,\mathcal T)</math>이다.
어떤 [[위상공간 (수학)|위상공간]] <math>(X, T)</math>가 주어졌을 때, 이 공간이 '''거리화 가능하다'''는 것은 다음과 같은 의미이다.
* 집합 <math>(X</math>상의,\mathcal 거리함수 <math>d(x_1,x_2T)</math>를, 원래의 위상 <math>TX</math> 위의 거리함수가어떤 유도하는[[거리 거리위상공간|거리 함수]] <math>T_dd</math>가 동일하게로부터 되도록유도되는 잡을거리 위상과 있다일치한다.
이 때 원래의 위상공간은 거리위상에 의해 유도되는 거리공간과 위상동형이므로, 그 자체를 하나의 거리공간으로 볼 수 있다. 이러한 거리함수 <math>d</math>를 찾아가는 과정을 '''거리화'''라고 한다.
 
그러나 연구의 중점은, 거리화 자체보다는 주로 어떤 공간이 거리화가 가능한지에 놓여 있다. 이처럼, 어떤 성질을 갖는위상 공간이 거리화 가능한지의가능 조건을공간인지를 구하는 문제를 '''거리화 문제'''라고 한다. 이 문제는 일반 위상수학에서[[일반위상수학]]의 중요한 문제 중 하나이다.
 
'''국소 거리화 가능 공간'''({{llang|en|locally metrizable space}})은 다음 조건을 만족시키는 [[위상공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X,\mathcal T)</math>이다.
== 국소적 거리화 ==
* 모든 점 <math>x</math>에 대하여, 거리 공간화 가능 공간인 열린 근방 <math>U_x\ni x</math>가 존재한다.
유사한 개념으로, 거리화 가능의 조건을 약화시킨 '''국소적 거리화 가능'''이라는 것이 있다. 이는 위상공간 <math>(X, T)</math>가 주어졌을 때, <math>X</math> 상의 임의의 점 <math>x</math>에 대하여 그 부분공간이 되면서 거리화 가능인 <math>x</math>의 열린 근방 <math>U</math>가 존재한다는 성질을 의미한다. 자명히 거리화 가능이면 국소적 거리화 가능이지만(전체 집합은 열린 집합이며 임의점의 근방이 되므로), 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
모든 거리화 가능 공간은 국소 거리화 가능 공간이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
 
=== 스톤의성질 정리 ===
거리화 가능성의 필요 조건 및 충분 조건들은 다음과 같다.
거리공간은 정칙공간이고, 정칙공간일 때 [[파라컴팩트 공간]]이기 위해서는 [[준파라컴팩트 공간]]이기만 하면 된다. 이 조건은 거리공간 조건에 의해 쉽게 만족되므로, 다음의 정리가 성립한다. 이 정리에는 [[미국]]의 수학자 [[마셜 하비 스톤]](Marshall Harvey Stone)의 이름이 붙어 있다.
* 정리: 모든 거리공간은 파라컴팩트공간이다. 즉, 거리화 가능한 공간이면 파라컴팩트공간이다.
이 정리는 다음의 스미르노프 거리화 정리의 일부가 된다.
 
=== 스미르노프필요 거리화 정리조건 ===
모든 거리화 가능 공간은 다음 성질을 만족시킨다.
거리화 가능성 조건과 국소적 거리화 가능을 동치로 만들어주는 조건은 바로 공간의 파라컴팩트성이다. 이는 다음과 같은 스미르노프 거리화 정리로 주어진다.
* [[하우스도르프 공간]]이다.
* 정리: 어떤 위상공간에 대하여, '거리화 가능이다'라는 성질과 '파라컴팩트 <math>T_2</math> 이고 국소적 거리화 가능이다'라는 성질은 동치이다.
* [[완전 정규공간]]이다.
* [[제1 가산 공간]]이다.
* ('''스톤의 정리''' {{llang|en|Stone’s theorem}}) [[파라콤팩트 공간]]이다.
스톤의 정리는 [[미국]]의 수학자 [[마셜 하비 스톤]](Marshall Harvey Stone)이 증명하였다.
 
=== 유사충분 형태조건 ===
== 우리손의 거리화 정리 ==
다음 공간들은 항상 거리화 가능 공간이다.
다음 정리는 사실 우리손이 아니라 [[안드레이 니콜라예비치 티호노프]]({{llang|ru|Андрей Николаевич Тихонов}})가 증명했지만, 관련 주제에 대한 업적을 기려 우리손의 이름이 붙어 있다. 실제로 우리손이 증명한 것은 '어떤 위상공간이 제2가산공간이고 동시에 [[정규공간]]일 때 거리화 가능'하다는 정리였고, 티호노프는 이것을 좀 더 일반화한 것이다.
* ('''우리손 거리화 정리''' {{llang|en|Urysohn metrization theorem}}) [[제2 가산 공간|제2 가산]] [[정칙 공간]]
* 정리: 어떤 위상공간이 [[제2가산공간]]이며 동시에 [[정칙공간]]일 경우, 거리화 가능하다.
다음우리손 정리는거리화 사실정리는 우리손이 아니라 [[안드레이 니콜라예비치 티호노프]]({{llang|ru|Андрей Николаевич Тихонов}})가 증명했지만, 관련 주제에 대한 업적을 기려 우리손의 이름이 붙어 있다. 실제로 우리손이 증명한 것은 '어떤 위상공간이 제2가산공간이고[[제2 가산 공간]]이고 동시에 [[정규공간정규 공간]]일 때 거리화 가능'하다는 정리였고, 티호노프는 이것을 좀 더 일반화한이를 것이다일반화하였다.
 
=== 정리의필요 충분 조건 ===
어떤 위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
우리손의 거리화 정리의 역은 다음과 같이 주어진다. 그러면 필요충분조건이 되는데, 이는 이후 나가타-스미르노프 거리화 정리로 일반화되었다.
* <math>X</math>는 거리화 가능 공간이다.
* 정리: 어떤 위상공간이 [[분해 가능 공간]]이며 거리화 가능 공간이라면, [[제2 가산 공간]]이며 [[정칙 공간]]이다.
* ('''스미르노프 거리화 정리''' {{llang|en|Smirnoff metrization theorem}}) <math>X</math>는 [[파라콤팩트 공간]]이며, [[하우스도르프 공간]]이며, 국소 거리화 가능 공간이다.
이는 [[힐베르트 공간]]을 도입하여 쉽게 보일 수 있다. 먼저 [[제2 가산 공간]]인 [[정칙 공간]]은 힐베르트 공간의 부분공간과 위상적으로 동형이다. 또 힐베르트 공간은 거리공간이며 제2가산공간이다. 따라서 힐베르트 공간의 어떤 부분공간도 제2가산이므로, [[분해 가능 공간]]이다. 마지막으로 [[거리 공간]]은 [[정규 공간]]이며, [[정규 공간]]은 [[정칙 공간]]이고, [[거리 공간]] 위에서 [[분해 가능 공간|분해 가능성]]과 [[제2 가산 공간|제2 가산성]]은 동치이므로 결론을 얻는다.
* ('''빙 거리화 정리''' {{llang|en|Bing metrization theorem}}) <math>X</math>는 [[정칙 공간]]이며, σ-국소 이산 기저를 갖는다.
* (나가타-스미르노프 거리화 정리 {{llang|en|Nagata–Smirnoff metrization theorem}}) <math>X</math>는 [[정칙 공간]]이며, σ-국소 유한 기저를 갖는다.
 
'''나가타-스미르노프 거리화 정리'''는 [[러시아]]의 유리 미하일로비치 스미르노프({{llang|ru|Ю́рий Миха́йлович Смирно́в}})와 [[일본]]의 수학자 [[나가타 준이치]]({{llang|ja|長田 潤一}})가 증명하였다. 이들은 우리손의 거리화 정리의 역 형식에서 [[분해 가능]]성 조건을 빼고 필요충분조건의필요 일반화를충분 시도하였다조건을 일반화하였다. 이 정리의 증명은 몇 단계로 이루어질 수 있는데,결과는중 중요한 수순으로 [[무어 공간]]의 개념을 다음의이용하는 정리로경우가 주어진다있다.
=== 유사 형태 ===
주어진 공간이 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이라는 조건을 주면, 거리화 가능 조건은 다음과 같이 간략화된다. 그러나 이 경우 배경 조건이 너무 강력하다는 문제점이 있다.
* 정리: [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이 거리화 가능일 필요충분조건은 제2가산인 것이다.
 
나가타-스미르노프 거리화 정리의 발표와 유사한 시기에 미국의 수학자 [[RH 빙]]({{llang|en|RH Bing}})<ref>{{맥튜터|id=Bing|title=R H Bing}}</ref><!-- 동양계 이름이 아님. "RH"가 약자가 아니라 실제로 이름이 "RH" -->이 유사한 형식의 '''빙 거리화 정리를정리'''를 발표하였다. 이 두 정리를 통칭하여 빙-나가타-스미르노프 거리화 정리라고도 한다. 증명 도중에 무어 공간을 사용하는 경우가 있다는 점에서 위의나가타-스미르노프 거리화 정리와 유사하다.
== 나가타-스미르노프 거리화 정리 ==
[[러시아]]의 유리 미하일로비치 스미르노프({{llang|ru|Ю́рий Миха́йлович Смирно́в}})와 [[일본]]의 수학자 [[나가타 준이치]]({{llang|ja|長田 潤一}})는 우리손의 거리화 정리의 역 형식에서 [[분해 가능]]성 조건을 빼고 필요충분조건의 일반화를 시도하였다. 그 결과는 다음의 정리로 주어진다.
* 정리: 어떤 위상공간에 대하여, '거리화 가능이다'라는 성질과 '정칙이고 σ-국소 유한 기저를 갖는다'라는 성질은 동치이다.
이 정리의 증명은 몇 단계로 이루어질 수 있는데, 그 중 중요한 수순으로 [[무어 공간]]의 개념을 이용하는 경우가 있다.
 
우리손 거리화 정리를 다음과 같이 강화시킬 수 있다. 임의의 [[분해 가능 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
=== 빙 거리화 정리 ===
* <math>X</math>는 거리화 가능 공간이다.
나가타-스미르노프 거리화 정리의 발표와 유사한 시기에 미국의 수학자 [[RH 빙]]({{llang|en|RH Bing}})<ref>{{맥튜터|id=Bing|title=R H Bing}}</ref><!-- 동양계 이름이 아님. "RH"가 약자가 아니라 실제로 이름이 "RH" -->이 유사한 형식의 거리화 정리를 발표하였다. 이 두 정리를 통칭하여 빙-나가타-스미르노프 거리화 정리라고도 한다. 증명 도중에 무어 공간을 사용하는 경우가 있다는 점에서 위의 정리와 유사하다.
* <math>X</math>는 [[제2 가산 공간]]이며 [[정칙 공간]]이다.
* 정리: 어떤 위상공간에 대하여, '거리화 가능이다'라는 성질과, '정칙이고 σ-국소 이산 기저를 갖는다'라는 성질은 동치이다.
이는 [[힐베르트다음과 공간]]을같이 도입하여 쉽게 보일증명할 수 있다. 먼저 [[제2 가산 공간]]인 [[정칙 공간]]은 힐베르트 공간의 부분공간과 위상적으로 동형이다. 또 힐베르트 공간은 거리공간이며 제2가산공간이다. 따라서 힐베르트 공간의 어떤 부분공간도 제2가산이므로[[제2 가산 공간]]이므로, [[분해 가능 공간]]이다. 마지막으로 [[거리 공간]]은 [[정규 공간]]이며, [[정규 공간]]은 [[정칙 공간]]이고, [[거리 공간]] 위에서 [[분해 가능 공간|분해 가능성]]과 [[제2 가산 공간|제2 가산성]]은 동치이므로 결론을 얻는다.
 
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 거리화 가능 공간이다.
* <math>X</math>는 [[제2 가산 공간]]이다.
 
== 참고 문헌 ==