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[[일반위상수학]]에서, '''거리화 가능 공간'''(距離化可能空間, {{llang|en|metrizable space}})은 어떤 [[거리 공간]]과 [[위상동형]]인 [[위상공간 (수학)|위상 공간]]이다. 어떤 위상 공간이 거리화 가능 공간인지를 구별하는 것은 [[일반위상수학]]의 중요한 문제이다.
'''거리화 정리'''(距離化定理, {{llang|en|metrization theorem}})란 [[위상수학]]에서 주로 다루는 주제인 '''거리화'''({{llang|en|metrization}})에 관련된 정리를 의미한다. 이 문서에서는 발견한 수학자의 이름이 붙을 정도로 유명한 정리들만을 나열할 것이다. 관련 분야에 관해 초기의 업적으로는 [[러시아]] 수학자인 [[파벨 사무일로비치 우리손]]의 것이 유명하다.
 
== 정의 ==
'''거리화 가능 공간'''({{llang|en|metrizable space}})은 다음 조건을 만족시키는 [[위상공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X,\mathcal T)</math>이다.
* <math>(X,\mathcal T)</math>는 <math>X</math> 위의 어떤 [[거리 공간|거리 함수]] <math>d</math>로부터 유도되는 거리 위상과 일치한다.
 
어떤 위상 공간이 거리화 가능 공간인지를 구하는 문제를 '''거리화 문제'''라고 한다. 이 문제는 [[일반위상수학]]의 중요한 문제 중 하나이다.
 
'''국소 거리화 가능 공간'''(局所距離化可能空間, {{llang|en|locally metrizable space}})은 다음 조건을 만족시키는 [[위상공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X,\mathcal T)</math>이다.
* 모든 점 <math>x</math>에 대하여, 거리 공간화 가능 공간인 열린 근방 <math>U_x\ni x</math>가 존재한다.
모든 거리화 가능 공간은 국소 거리화 가능 공간이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
 
== 성질 ==
거리화 가능성의 필요 조건 및 충분 조건들은 다음과 같다. 이렇게 거리화에 관련된 조건을 제시하는 정리를 '''거리화 정리'''(距離化定理, {{llang|en|metrization theorem}})라고 한다.
 
=== 필요 조건 ===