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티호노프 공간: 두 판 사이의 차이

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== 정의 ==
[[위상공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>가 다음 조건을 만족시키면 '''완비 정칙공간정칙 공간'''({{llang|en|completely regular space}})은 다음과 같이이라고 정의한다한다.<ref name="유정옥"/>{{rp|231}}
* 임의의 [[닫힌 집합]] <math>C\subseteq X</math> 및 <math>x\in X\setminus C</math>에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to[0,1]</math>이 존재한다.
* 위상공간 X가 완비 정칙공간일 필요충분조건은 X의 임의의 [[닫힌 집합]] F와 F에 속하지 않는 한 점 p에 대하여 연속함수 f:X → [0, 1]이 존재하여 f(p) = 0이고 f(F) = {1}을 만족하는 것이다.
** <math>f(x)=0</math>
'''티호노프 공간'''은 [[T1 공간|T<sub>1</sub>]]인 완비 정칙공간이다.<ref name="유정옥">{{책 인용|저자=유정옥|제목=알기쉬운 위상수학|출판사=교우사|isbn=978-89-8172-528-0|날짜=2013|판=2판|url=http://www.kyowoo.co.kr/02_sub/view.php?p_idx=310|언어고리=ko}}</ref>{{rp|231}}▼
** <math>f(C)=\{1\}</math>
 
▲'''티호노프 공간'''은 [[T1위상공간 공간(수학)|T위상 공간]] <submath>1X</submath>에 대하여, 다음 네 조건이 서로 [[동치]]인이며, 완비이를 만족시키는 위상 공간을 '''티호노프 공간'''이라고 정칙공간이다한다.<ref name="유정옥">{{책 인용|저자=유정옥|제목=알기쉬운 위상수학|출판사=교우사|isbn=978-89-8172-528-0|날짜=2013|판=2판|url=http://www.kyowoo.co.kr/02_sub/view.php?p_idx=310|언어고리=ko}}</ref>{{rp|231}}
* <math>X</math>는 [[T1 공간|T<sub>1</sub>]]이며 완비 정칙 공간이다.
** X를<math>X</math>를 부분공간으로 하는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이 존재한다.▼
* <math>X</math>는 <math>[0,1]^\mathcal C(X,[0,1])</math>의 부분 집합과 [[위상동형]]이다. 여기서 <math>\mathcal C(X,Y)</math>는 <math>X</math>에서 <math>Y</math>로 가는 [[연속 함수]]들의 [[집합]]이며, <math>[0,1]^\mathcal C(X,Y)</math>는 표준 위상을 부여한 단위 구간 <math>[0,1]</math>의 <math>|\mathcal C(X,[0,1])|</math>개 만큼의 [[곱공간]]이다.
** X는<math>X</math>는 [[하우스도르프 공간]]인 [[콤팩트화]]를 갖는다. (이는 위의 두 [[필요충분조건]]들의 [[따름정리]]이다.)▼
 
== 성질 ==
* 모든 티호노프 공간은 [[T3 공간|T<sub>3</sub>]]이며 [[완비 하우스도르프 공간]]이다.<ref name="유정옥"/>{{rp|231–232}}
* 또,모든 [[T4 공간|T<sub>4</sub> 공간]]은 티호노프 공간이다.<ref name="유정옥"/>{{rp|231–232}}
* 티호노프 공간의 [[부분공간]]은부분 공간은 티호노프 공간이다. 티호노프 공간의 임의 개수 [[곱공간]] 역시 티호노프 공간이다.<ref>{{책 인용|이름=James R.|성=Munkres|제목=Topology|isbn=978-013181629-9|판=2판|출판사=Prentice Hall|날짜=2000|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page|zbl=0951.54001|mr=0464128 |언어고리=en}}</ref>{{rp|211}}
* 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
** 위상공간 X가 티호노프 공간이다.
▲** X를 부분공간으로 하는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이 존재한다.
** X가 f:X→[0,1]인 모든 [[연속함수]]의 집합 F에 대하여 [0,1]<sup>F</sup>의 어떤 [[부분공간]]과 [[위상동형사상|위상동형]]이다.
▲** X는 [[하우스도르프 공간]]인 [[콤팩트화]]를 갖는다. (이는 위의 두 [[필요충분조건]]들의 [[따름정리]]이다.)
 
== 같이 보기 ==
* [[우리손 공간]]
* [[정칙공간정칙 공간]]
* [[정규공간정규 공간]]
 
== 참고 문헌 ==
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/티호노프_공간"