국소 연결 공간: 두 판 사이의 차이

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[[일반위상수학]]에서, '''국소 연결공간연결 공간'''(locally connected space, 局所 連結空間, {{llang|en|locally connected space}})은 [[위상공간 (수학)|위상공간]]으로서, [[연결공간]]을 [[국소화]]시킨 개념이다. 다음과 같이 정의한다.<ref name="a">James R. Munkres (2000), ''Topology'', Prentice Hall, p.161.</ref>
 
== 주석정의 ==
* 국소 연결공간은 모든 점에서 국소 연결인 공간이다.
'''국소 연결 공간''' <math>X</math>는 임의의 점 <math>x\in X</math>의 임의의 근방 <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>x\in C\subseteq U</math>인 [[연결 공간|연결]] [[근방]] <math>C</math>가 존재하는 [[위상공간 (수학)|위상 공간]]이다.<ref name="Munkres">James R. Munkres (2000), ''Topology'', Prentice Hall</ref>{{rp|161}}
 
'''국소 경로 연결 공간'''(locally path connected space) <math>X</math>는 임의의 점 <math>x\in X</math>의 임의의 근방 <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>x\in C\subseteq U</math>인 [[경로 연결 공간|경로 연결]] [[근방]] <math>C</math>가 존재하는 [[위상공간 (수학)|위상 공간]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|161}}
여기서, 위상공간 X가 어떤 점 x에서 '''국소 연결'''이라는 것은 다음과 같이 정의한다.<ref name="a"/>
 
* x의 임의의 [[근방]]에 대해, 이 근방에 포함되는 x의 연결된 근방이 존재한다.
 
유사하게 '''국소 경로연결공간'''(locally path connected space)도 정의할 수 있다. 그 정의는 위의 정의에서 '연결'을 '경로연결'로 바꾸어 주기만 하면 된다.<ref name="a"/>
 
== 성질 ==
* 국소 경로연결공간은경로 연결 공간은 국소 연결공간이다연결 공간이다.
* 위상공간위상 공간 X가 국소 연결공간일연결 공간일 [[필요충분조건]]은 X 상의 임의의 [[열린 집합]] U에 대해 U의 모든 [[연결성분연결 성분]]이 X에서 열린 집합인 것이다.<ref name="aMunkres"/>{{rp|161}}
* 위상공간위상 공간 X가 국소 경로연결공간일경로 연결 공간일 필요충분조건은 X 상의 임의의 열린 집합 U에 대해 U의 모든 경로연결성분이경로 연결 성분이 X에서 열린 집합인 것이다.<ref name="aMunkres"/>{{rp|161}}
* 국소 경로연결공간에서경로 연결성분과연결 경로연결성분은공간에서 연결 성분과 경로 연결 성분은 동치인 개념이다.<ref name="aMunkres"/>{{rp|161}}
* 국소 경로연결공간의경로 연결 공간의 열린 연결 부분공간은부분 경로연결공간이다공간은 경로 연결 공간이다.<ref name="cMunkres">''Ibid.'', p.162.</ref>{{rp|162}}
* 국소 연결공간 X와 위상공간 Y에 대해 X에서 Y로의 [[몫사상]]이 존재한다면, Y도 국소연결공간이다.<ref>''Ibid.'', p. 163.<name="Munkres"/ref>{{rp|163}}
 
== 연결성과의 관계 ==
일반적으로 국소 연결성은 연결성과 관계가 없다. 예를 들어, [[위상수학자의 사인 곡선]]은 [[연결공간연결 공간]]이지만 국소 연결공간은연결 공간이 아니다. (0, 1)에서 이 점을 중심으로 하는 적당히 작은 ε-구를 잡으면, (0, 1)을 포함하는 연결성분은 열린 집합이 아니기 때문이다. 마찬가지로 국소 경로연결성도 경로연결성과 관계가 없는데, [[빗 공간]](comb space)은 경로연결공간이지만 국소 경로연결공간은 아니다.
 
[[빗 공간]](comb space)은 [[경로 연결 공간]]이지만 국소 경로 연결 공간이 아니다.
== 주석 ==
{{reflist}}
 
== 참고 문헌 ==
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* James R. Munkres (2000), ''Topology'', Prentice Hall.
 
[[분류:일반위상수학]]