"파라콤팩트 공간"의 두 판 사이의 차이

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[[일반위상수학]]에서, '''파라콤팩트 공간'''(paracompact空間, {{llang|en|paracompact space}})은 [[위상공간 (수학)|위상공간]]으로서, [[콤팩트 공간]]을 새로운 방식으로 정의하여 만든 공간이다. [[미분위상수학]] 및 [[미분기하학]] 등의 분야에 아주 유용하게 사용된다. 이들 분야에서 다루는 많은 공간들이 파라콤팩트 공간이며, 이 공간은 [[단위분할]] 성질을 가져서 국소적인 성질을 통해 전체적인 성질을 정의할 수 있기 때문에 [[리만 계량]], [[미분 형식]]의 [[적분]] 등 여러 주제에서 유용하기 때문이다.<ref name="조용승">{{책 인용|저자=조용승|제목=위상수학|출판사=경문사|날짜=2010|언어고리=ko}}</ref>{{rp|68}} [[1944년]] [[니콜라 부르바키]]의 [[프랑스]] 수학자 [[장 디외도네]]가 처음으로 제시하였다.<ref>{{저널 인용|성=Dieudonné|이름=Jean|날짜=1944|제목=Une généralisation des espaces compacts|저널=Journal de mathématiques pures et appliquées (neuvième série)|권=23|쪽=65–76|issn=0021-7824|mr=0013297|언어고리=fr}}</ref>
 
== 정의 ==
* 파라콤팩트 공간은 [[메조콤팩트 공간]]이자 [[준파라콤팩트 공간]]이다.
* 파라콤팩트인 [[희박 콤팩트 공간]]은 콤팩트 공간이다.
* 준파라콤팩트인 [[정칙공간정칙 공간]]은 파라콤팩트 공간이다.
* ('''디외도네의 정리''') 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]은 <math>T_4</math>공간이다.<ref name="Munkres">{{책 인용|이름=James R.|성=Munkres|날짜= 2000|제목=Topology|출판사=Prentice Hall|언어고리=en}}</ref>{{rp|253}}
* 파라콤팩트 공간의 [[닫힌 집합|닫힌]] [[부분공간]]은부분 공간은 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|254}}
* ('''모리타의 정리''') [[T4 공간|T<mathsub>T_44</mathsub>]] [[린델뢰프 공간]]은 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|257}}
** 디외도네의 정리와 모리타의 정리의 따름정리 : 하우스도르프 린델뢰프 공간에 대하여, [[정칙공간]] 조건과 파라콤팩트 조건은 동치이다.
* ('''[[스미르노프 거리공간화 정리]]''') 위상공간에 대하여 '파라콤팩트 <math>T_2</math> 이고 국소적 거리화 가능'이라는 성질은 '거리공간화 가능'이라는 성질과 동치이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|261}}
* 파라콤팩트 공간과 콤팩트 공간의 [[곱공간]]은 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}}
* 위상공간 X가 [[T4 공간|T<mathsub>T_44</mathsub>공간일 공간]]일 때, X에서 [[유한집합유한 집합|유한 개]] 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 [[합집합]] 역시 파라콤팩트 집합이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}}
* 위상공간 X가 [[T4 공간|T<mathsub>T_44</mathsub>공간일 공간]]일 때, X에서 [[가산집합가산 집합|가산 개]] 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 [[내부]]가 이루는 [[집합족]]이 X의 덮개가 될 때, 그 합집합 역시 파라콤팩트 집합이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}}
* 위상공간 X, Y에 대해 X에서 Y로의 [[완전사상]]이 존재한다면, Y가 파라콤팩트일 때 X도 파라콤팩트이고, Y가 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]일 때 X도 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}}
* G가 [[국소 콤팩트]] [[연결공간연결 공간]]인 [[위상군]]이라면, G는 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|261}}
 
한편, 일반적으로 파라콤팩트 공간의 임의의 부분공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않으므로 파라콤팩트성은 [[유전적 성질]]이 아니다. 또한, [[콤팩트 공간]]들을 모으면 [[티호노프 정리]]에 의해 그 곱공간 역시 [[콤팩트 공간]]이 되는 것과는 다르게, 파라콤팩트 공간의 임의의 [[곱공간]]은 파라콤팩트 공간이 되지 않는다.<ref name="Munkres"/>{{rp|253}}
 
== 역사 ==
[[1944년]] [[니콜라 부르바키]]의 [[프랑스]] 수학자 [[장 디외도네]]가 처음으로 제시하였다.<ref>{{저널 인용|성=Dieudonné|이름=Jean|날짜=1944|제목=Une généralisation des espaces compacts|저널=Journal de mathématiques pures et appliquées (neuvième série)|권=23|쪽=65–76|issn=0021-7824|mr=0013297|언어고리=fr}}</ref>
 
== 참고 문헌 ==