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단일 연결 공간: 두 판 사이의 차이

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[[위상수학]]에서, '''단일연결공간단일 연결 공간'''(單一連結空間, {{llang|en|simply connected space}}) 또는 '''단순연결공간'''은 [[위상공간]]의 일종으로, 직관적으로 말해 그 공간 내에서속의 임의의 [[닫힌 경로]]를 연속적으로 줄여 하나의 점으로 만들 수 있는 공간을 말한다. 보다 엄밀한 정의는 다음과 같다.<ref>James R. Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000, p. 333.</ref>
 
== 정의 ==
* 위상공간 X가 단일연결공간일 [[필요충분조건]]은 X가 [[경로연결공간]]이고 X의 [[기본군]]이 [[자명군]]인 것이다.
위상 공간 <math>X</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이고, 이 조건을 만족시키는 위상 공간을 '''단일 연결 공간'''이라고 한다.<ref>{{책 인용|이름=James R.|성=Munkres|제목=Topology|isbn=978-013181629-9|판=2판|출판사=Prentice Hall|날짜=2000|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page|zbl=0951.54001|mr=0464128 |언어고리=en}}</ref>{{rp|333}}
* X는 [[경로 연결 공간]]이고, X의 [[기본군]]은 [[자명군]]이다.
* 위상공간 X가 단일연결공간일 [[필요충분조건]]은 X 내의 모든 닫힌 경로가 어떤 상수 경로(적당한 c∈X와 모든 t∈[0, 1]에 대해 C:[0, 1]→X, C(t) = c를 만족하는 경로 C)에 대해 [[호모토픽]]한 것이다하다.▼
 
어떤 위상공간에서 단일연결성을단일 연결성을 갖는 [[부분공간]]을 단일연결집합이라고단일 연결 부르기도집합이라고 한다.▼
이 정의는 다음 정의와 동치이다.
 
▲* 위상공간 X가 단일연결공간일 [[필요충분조건]]은 X 내의 모든 닫힌 경로가 어떤 상수 경로(적당한 c∈X와 모든 t∈[0, 1]에 대해 C:[0, 1]→X, C(t) = c를 만족하는 경로 C)에 대해 [[호모토픽]]한 것이다.
 
▲어떤 위상공간에서 단일연결성을 갖는 [[부분공간]]을 단일연결집합이라고 부르기도 한다.
 
== 예 ==
* 2차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb{R}^2</math> 는 단일연결공간이나단일 연결 공간이나, 여기서 원점을 뺀 집합은 단일연결집합이단일 연결 공간이 아니다.
* 2차원 이상의 모든 [[구면초구]] <math>S^n</math> 은 단일연결집합이다단일 연결 공간이다.
* 임의 차원 [[유클리드 공간에서공간]]의 [[볼록집합]]은 단일연결집합이다단일 연결 공간이다.
* [[바나흐 공간]]과 [[힐베르트 공간]]을 포함한 모든 [[위상 벡터공간벡터 공간]]은 단일연결공간이다단일 연결 공간이다.
 
== 같이 보기 ==
* [[국소 단일연결공간단일 연결 공간]]
* [[호모토피]]
 
== 주석참고 문헌 ==
{{reflist}}
 
== 참고 문헌 ==
* James R. Munkres (2000), ''Topology'', Prentice Hall.
 
[[분류:위상공간]]
[[분류:위상공간의 성질]]
[[분류:대수적 위상수학]]
 
[[de:Zusammenhängender Raum#Einfach zusammenhängend]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/단일_연결_공간"