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연속함수 (위상수학)에서 합침. 영어판을 비롯한 다른 대부분의 외국어 위키백과와 같이 같은 개념에 대하여 한 문서로 합침.
'''연속 함수'''는 어떤 임의의 작은 입력값의 변화에 따른 결과값의 변화도 작은 함수를 말한다.
{{미적분학}}
[[위상수학]]과 [[해석학 (수학)|해석학]]에서, '''연속 함수'''(連續函數, {{llang|en|continuous function}})는 [[정의역]]의 점의 "작은 변화"에 대하여, [[치역]]의 값 역시 작게 변화하는 함수이다.
 
== 정의 ==
[[파일:continuity topology.svg|thumb|right|300px|점에서의 연속성]]
=== 하이네의 정의 ===
[[위상공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math> 및 점 <math>x\in X</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>f</math>가 '''점 <math>x</math>에서 연속 함수'''이다({{lang|en|continuous at the point ''x''}})라고 한다.
다음은 [[에두아르트 하이네]]의 정의이다.
* 임의의 점 <math>x\in X</math> 및 [[근방]] <math>V\ni f(x)</math>에 대하여, <math>f(U)\subseteq V</math>인 <math>x</math>의 [[근방]] <math>U\ni x</math>가 존재한다.
: 실수 집합의 한 부분집합에서 실수 집합으로 가는 함수 <math>f:X\sub\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math>가 있다고 하자. <math>a\in X</math>이고, <math>\{x_n\}</math>가 <math>a</math>로 수렴하는 <math>X</math>의 임의의 수열이라 하자. 즉, <math>\lim_{n \to \infty} x_n = a</math>이다. 이 때, 만일 <math>\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(a)</math>를 만족할 때, <math>f</math>는 <math>a\in X</math>에서 연속이다. 또한, 만일 임의의 <math>a\in X</math>에 대하여 위 조건이 만족된다면, <math>f</math>는 <math>X</math>전체에서 연속함수가 된다.
 
[[위상공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 '''연속 함수'''라고 한다.
=== 엡실론-델타 논법 ===
* 임의의 [[열린 집합]] <math>U\subseteq Y</math>에 대하여, [[원상 (수학)|원상]] <math>f^{-1}(Y)\subseteq X</math>는 [[열린 집합]]이다.
{{참고|엡실론-델타 논법}}
* 임의의 [[닫힌 집합]] <math>C\subseteq Y</math>에 대하여, [[원상 (수학)|원상]] <math>f^{-1}(C)\subseteq X</math>는 [[닫힌 집합]]이다.
[[수열의 극한]]을 쓰지 않고 함수의 연속성을 다음과 같이 정의할 수 있다.
* <math>f</math>는 <math>X</math>의 모든 점에서 연속 함수이다.
* 임의의 [[부분 집합]] <math>A\subseteq X</math>에 대하여, 항상 <math>f(\operatorname{cl}(A))\subseteq\operatorname{cl}(f(A))</math>이다. 여기서 <math>\operatorname{cl}</math>은 [[폐포 (위상수학)|폐포]]를 일컫는다.
 
[[위상공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>f</math>를 '''점렬 연속 함수'''(點列連續函數, {{llang|en|sequentially continuous function}})라고 한다.
[[실수]] 집합에서 정의되는 함수 ''f''와 정의역에 속하는 임의의 원소 ''c''가 있다고 가정하자. 다음 조건을 만족할 때 함수 ''f''는 ''c''에서 연속이다.
* 임의의 [[수열|점렬]] <math>x_i\in X</math> 및 점 <math>x\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x_i\to x</math>라면 <math>f(x_i)\to f(x)</math>이다.
: 임의의 수 ''ε''>0에 대해, ''c''−''δ'' < ''x'' < ''c''+''δ''에 속하는 모든 ''x''에 대해 ''f''(''c'')−''ε'' < ''f''(''x'') < ''f''(''c'')+''ε''을 만족하는 양수 ''δ''가 존재한다.
 
=== 좌·우 연속성 ===
다시 말해, 실수 집합의 부분집합 ''A''와 ''B''에 대해, ''f'': ''A''→''B''가 ''c''∈''A''에서 연속이라는 것은 곧 모든 수 ''ε'' > 0에 대해 ''x'' ∈ ''A''이고 |''x''-''c''| < ''δ''이면 항상 |''f''(''x'')-''f''(''c'')| < ''ε''를 만족하는 ''δ'' > 0가 존재한다는 것이다.
어떤 [[구간]] <math>I\subset\mathbb R</math> 및 [[위상공간 (수학)|위상 공간]] <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon I\to Y</math> 및 실수 <math>r\in I</math>에 대하여, 다음을 정의하자.
* 만약 <math>\lim_{x\to r^+}f(x)=f(c)</math>라면, <math>f</math>는 <math>c</math>에서 '''우연속 함수'''({{llang|en|right-continuous function}})이다.
* 만약 <math>\lim_{x\to r^-}f(x)=f(c)</math>라면, <math>f</math>는 <math>c</math>에서 '''좌연속 함수'''({{llang|en|left-continuous function}})이다.
 
== 성질 ==
이를 [[함수의 극한]]으로 나타내면 <math>\lim_{x\to c}f(x)=f(c)</math>이다.
연속함수는 위상공간의 몇가지 성질을 보존하기 때문에 매우 유용하다.
* ''f'' : ''X'' → ''Y'' 와 ''g'' : ''Y'' → ''Z'' 가 연속 함수이면 [[합성 함수]] ''g'' o ''f'' : ''X'' → ''Z'' 도 연속 함수이다.
* ''f'' : ''X'' → ''Y'' 가 연속 함수이면
** ''X'' 가 [[콤팩트 공간]]이라면, ''f''(''X'') 도 [[콤팩트 공간]]이다.
** ''X'' 가 [[연결 공간]]이라면, ''f''(''X'') 도 [[연결 공간]]이다.
** ''X'' 가 [[경로 연결 공간]]이라면, ''f''(''X'') 도 [[경로 연결 공간]]이다.
 
임의의 두 위상 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 점렬 연속 함수는 항상 연속 함수이다. 만약 <math>X</math>가 [[제1 가산 집합]]이라면, <math>X</math>와 <math>Y</math> 사이의 함수에 대하여 연속 함수와 점렬 연속 함수가 서로 [[동치]]이다.
== 좌연속성과 우연속성 ==
 
함수 <math>f : S \to \mathbb R</math>, 집합 <math>S \subset \mathbb R</math>와 실수 <math>c \in S</math>가 있다 하자.
=== 거리 공간에서의 연속 함수 ===
{{참고|엡실론-델타 논법}}
두 [[거리 공간]] <math>(X,d_X)</math> 및 <math>(Y,d_Y)</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math> 및 점 <math>x\in X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f\colon X\to Y</math>는 <math>x</math>에서 [[연속 함수]]이다.
* 임의의 양의 [[실수]] <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 [[실수]] <math>\delta_\epsilon</math>이 존재한다.
** 임의의 <math>x'\in X</math>에 대하여, 만약 <math>d_X(x,x')<\delta</math>라면, <math>d_Y(f(x),f(x'))<\epsilon</math>
이다.
 
=== 실수값 연속 함수 ===
1. <math>\lim_{x \rightarrow c^+} f(x) = f(c)</math>이면 <math>f</math>가 점 <math>c</math>에서 '''우연속'''(right-continuous)이라고 한다.
임의의 위상 공간 <math>X</math> 위의 두 연속 함수
:<math>f,g\colon X\to\mathbb R</math>
에 대하여, 다음이 성립한다.
* <math>f + g\colon X\to\mathbb R</math>는 연속 함수이다.
* <math>fg\colon X\to\mathbb R</math>는 연속 함수이다.
** [[상수 함수]]는 연속 함수이므로, 만약 <math>g</math>가 임의의 실수 <math>r</math>라면, <math>rf\colon X\to\mathbb R</math>는 연속 함수이다.
* 만약 모든 <math>x\in X</math>에 대하여 <math>f(x)\ne0</math>이라면, <math>1/f</math>는 연속 함수이다.
 
=== 실수 위의 함수 ===
2. <math>\lim_{x \rightarrow c^-} f(x) = f(c)</math>이면 <math>f</math>가 점 <math>c</math>에서 '''좌연속'''(left-continuous)이라고 한다.
실수 구간 <math>I\subset\mathbb R</math>으로부터 위상 공간 <math>Y</math>로 가는 함수 <math>f\colon I\to\mathbb R</math> 및 임의의 실수 <math>r\in I</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* <math>f</math>는 <math>r</math>에서 좌연속 함수이며 우연속 함수이다.
* <math>f</math>는 <math>r</math>에서 연속 함수이다.
 
== 예 ==
== 위상공간에서의 연속함수 ==
실수선에 표준적인 위상을 정의하였을 때, 다음 함수들은 연속 함수이다.
{{본문|연속함수 (위상수학)}}
* 모든 다항식 <math>\mathbb R\to\mathbb R</math>
연속함수에 대한 위의 정의는 [[위상공간 (수학)|위상공간]]들 사이의 함수에 대해 적용되도록 일반화할 수 있다. 함수 <math>f :\, X \rightarrow Y</math> 가 위상공간 <math>X</math>에서 위상공간 <math>Y</math>로의 함수라 하자. 이때 임의의 [[열린 집합]] <math>V \subseteq Y</math>에 대해 그 역상 <math>f^{-1}(V)\subseteq X</math>도 [[열린 집합]]일 경우 <math>f</math>를 연속함수라 한다.
* 지수 함수 <math>\exp\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
* [[사인 함수|사인]] <math>\sin\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
* [[코사인]] <math>\cos\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
* [[절댓값]] <math>|\cdot|\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
다음 함수는 연속 함수가 아니다.
* 부호 함수 <math>\operatorname{sgn}\colon x\mapsto\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}</math>
 
== 연속함수의참고 대수문헌 ==
* {{책 인용|이름=James R.|성=Munkres|제목=Topology|isbn=978-013181629-9|판=2판|출판사=Prentice Hall|날짜=2000|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page|zbl=0951.54001|mr=0464128 |언어고리=en}}
집합 <math>S \subset \mathbb R^n</math>이 있고, <math>C(S)</math>를 <math>S</math>에서 정의된 모든 연속인 실수값함수의 집합이라 하자.
 
== 바깥 고리 ==
함수 <math>f, g \in C(S)</math> 라 하면, 두 함수간 연산에 대해 다음이 성립한다.
* {{eom|title=Continuous function}}
* <math>f + g \in C(S)</math>
* {{eom|title=Continuous mapping}}
* <math>af \in C(S), \ a</math>는 임의의 실수
* {{매스월드|id=ContinuousFunction|title=Continuous function}}
* <math>f \times g \in C(S)</math>
* {{매스월드|id=ContinuousMap|title=Continuous map}}
* <math>f / g \in C(S), \ g</math>는 정의역 내 어느 점에 대해서도 0이 아닌 함수이다.
* {{매스월드|id=PiecewiseContinuous|title=Piecewise continuous}}
 
== 함께같이 보기 ==
* [[반연속성]]
* [[불연속점의 분류]]
* [[고른연속균등 연속]]
* [[절대연속]]
* [[동등연속]]
* [[리프쉬츠리프시츠 연속]]
* [[스코트 연속유계작용소]]
* [[정규함수]]
* [[유계선형작용소]]
* [[연속 펑터]]
* [[연속 확률과정]]
 
[[분류:연속함수| ]]