연결 공간: 두 판 사이의 차이

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[[파일:Connected and disconnected spaces.svg|thumb|250px|A는 '''R'''²의 연결 부분공간이며, B는 비연결 부분공간이다.]]
[[일반위상수학]]에서, '''연결 공간'''(連結空間, {{llang|en|connected space}})은 [[공집합]]이 아닌 두 [[열린 집합]]으로 쪼갤 수 없는 [[위상공간위상 공간 (수학)|위상공간위상 공간]]이다. 연결성은 위상공간들을위상 공간들을 구분하기 위해 쓰이는 가장 중요한 위상수학적 성질 가운데 하나이다.
 
== 정의 ==
[[위상공간위상 공간 (수학)|위상공간위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상공간을위상 공간을 '''연결 공간'''이라고 한다.
* X는 공집합이 아닌 두 열린 [[서로소 집합]]의 합집합으로 나타낼 수 없다.
* X는 공집합이 아닌 두 닫힌 [[서로소 집합]]의 합집합으로 나타낼 수 없다. (이는 열린 집합의 [[여집합]]이 닫힌 집합과 일치하기 때문이다.)
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=== 경로 연결 공간 ===
[[파일:Path-connected space.svg|thumb|위 '''R'''<sup>2</sup>의 부분공간에 포함된 임의의 두 점을 길로 연결할 수 있으므로 이는 경로연결이다.]]
[[위상공간위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 임의의 두 점 <math>x,y\in X</math>에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [[연속 함수]] <math>f\colon[0,1]\to X</math>가 존재할 경우, <math>X</math>를 '''경로 연결 공간'''(經路連結空間, {{llang|en|path-connected space}})이라 한다.
* <math>f(0)=x</math>이며 <math>f(1)=y</math>이다.
이러한 조건을 만족시키는 함수를 <math>x</math>와 <math>y</math> 사이의 '''[[경로 (위상수학)|경로]]'''라고 한다.
 
=== 호 연결 공간 ===
[[위상공간위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 임의의 서로 다른 두 점 <math>x,y\in X</math>에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 [[연속 함수]] <math>f\colon[0,1]\to X</math>가 존재할 경우, <math>X</math>를 '''호 연결 공간'''(弧連結空間, {{llang|en|arc-connected space}})이라 한다.
* <math>f(0)=x</math>이며 <math>f(1)=y</math>이다.
* <math>f</math>는 [[매장 (수학)|매장]]이다. 즉, <math>f</math>는 <math>[0,1]</math>과 <math>f([0,1])\subset X</math> 사이의 [[위상동형사상]]이다.
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모든 경로 연결 공간은 호 연결 공간이다. 모든 호 연결 공간은 경로 연결 공간이다.
 
위상공간위상 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* 만약 <math>X</math>가 연결 공간이라면 <math>f</math>의 [[상 (수학)|상]] <math>f(X)</math> 또한 연결공간이다.
* 만약 <math>X</math>가 경로 연결 공간이라면 <math>f</math>의 [[상 (수학)|상]] <math>f(X)</math> 또한 경로연결공간이다.