위상 벡터 공간: 두 판 사이의 차이

[[수학]]에서, '''위상벡터공간위상 벡터 공간'''(位相vector空間, {{llang|en|topological vector space}}, 약자 TVS)은 호환되는 [[위상공간위상 공간 (수학)|위상]] 구조가이 주어진 [[벡터공간벡터 공간]]이다.

<math>k</math>가 [[위상체]] ({{llang|en|topological field}}, [[위상공간위상 공간 (수학)|위상공간위상 공간]]의 구조를 갖추어, 체의 연산 <math>+,\cdot\colon k\times k\to k</math>, <math>-,{}^{-1}\colon k\to k</math>가 모두 연속적인 [[체 (수학)|체]])라고 하자. 그렇다면 <math>k</math>에 대한 '''위상벡터공간위상 벡터 공간''' <math>V</math>는 다음 두 성질을 만족시키는, [[위상공간위상 공간 (수학)|위상공간위상 공간]]의 구조를 가지는 <math>k</math>에 대한 [[벡터공간벡터 공간]]이다.

* (덧셈의 연속성) 벡터 덧셈 <math>+\colon V\times V\to V</math>는 [[연속함수연속 함수]]다. (여기서 <math>V\times V</math>는 [[곱위상]]을 갖춘다.)

* (스칼라곱의 연속성) 스칼라곱 <math>\cdot\colon k\times V\to V</math>는 [[연속함수연속 함수]]다. (여기서 <math>k\times V</math>는 [[곱위상]]을 갖춘다.)

[[월터 루딘]]과 같은 일부 저자들은 여기에 추가하여 [[T1 공간|T₁ 공간]] 조건을 추가하기도 한다.

실수체나 복소수체에 대한 위상벡터공간위상 벡터 공간 <math>V</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.

* <math>V</math>는 [[T1 공간|T₁ 공간]]이다.

* <math>V</math>는 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[정칙공간정칙 공간]]이다.