"파라콤팩트 공간"의 두 판 사이의 차이

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[[일반위상수학]]에서, '''파라콤팩트 공간'''(paracompact空間, {{llang|en|paracompact space}})은 [[위상공간위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로서, [[콤팩트 공간]]을 새로운 방식으로 정의하여 만든 공간이다. [[미분위상수학]] 및 [[미분기하학]] 등의 분야에 아주 유용하게 사용된다. 이들 분야에서 다루는 많은 공간들이 파라콤팩트 공간이며, 이 공간은 [[단위 분할]] 성질을 가져서 국소적인 성질을 통해 전체적인 성질을 정의할 수 있기 때문에 [[리만 계량]], [[미분 형식]]의 [[적분]] 등 여러 주제에서 유용하기 때문이다.<ref name="조용승">{{책 인용|저자=조용승|제목=위상수학|출판사=경문사|날짜=2010|언어고리=ko}}</ref>{{rp|68}}
 
== 정의 ==
파라콤팩트 공간은 다음과 같이 정의된다.<ref name="조용승"/>{{rp|68}}
 
* 위상 공간 X가 파라콤팩트 공간일 필요충분조건은 X의 모든 [[열린 덮개]]가 국소적 유한(locally finite) 열린 [[세분]] (refinement위상수학) 열린 덮개를|세분]]을 갖는 것이다.
 
X의 [[열린 덮개]] <math>\{U_{\alpha}\}</math>가 '''국소적 유한'''이라는 것은, x∈X마다 그 근방 <math>W_x</math> 가 존재하여 유한 개의 <math>\alpha</math> 에 대해서만 <math>W_x \cap U_{\alpha} \ne \phi</math> 을 만족한다는 의미이다.<ref name="조용승"/>{{rp|68}}
* ('''모리타의 정리''') [[T4 공간|T<sub>4</sub>]] [[린델뢰프 공간]]은 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|257}}
** 디외도네의 정리와 모리타의 정리의 따름정리 : 하우스도르프 린델뢰프 공간에 대하여, [[정칙공간]] 조건과 파라콤팩트 조건은 동치이다.
* ('''[[스미르노프 거리화 정리]]''') 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[국소 거리화 가능 공간의공간]]의 조건은 [[거리화 가능 공간]] 조건과 동치이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|261}}
* 파라콤팩트 공간과 콤팩트 공간의 [[곱공간]]은 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}}
* 위상공간 X가 [[T4 공간|T<sub>4</sub> 공간]]일 때, X에서 [[유한 집합|유한 개]] 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 [[합집합]] 역시 파라콤팩트 집합이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}}
* 위상공간위상 공간 X가 [[T4 공간|T<sub>4</sub> 공간]]일 때, X에서 [[가산 집합|가산 개]] 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 [[내부]]가 이루는 [[집합족]]이 X의 덮개가 될 때, 그 합집합 역시 파라콤팩트 집합이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}}
* 위상공간위상 공간 X, Y에 대해 X에서 Y로의 [[완전사상]]이 존재한다면, Y가 파라콤팩트일 때 X도 파라콤팩트이고, Y가 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]일 때 X도 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}}
* G가 [[국소 콤팩트]] [[연결 공간]]인 [[위상군]]이라면, G는 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|261}}