위상 공간 (수학): 두 판 사이의 차이

주어진 위상 공간 <math>(X,\mathcal T)</math>의 열린 집합들은 [[완비 격자|완비]] [[헤이팅 대수]]를 이룬다. 즉, 위상 공간은 [[직관 논리]]의 모형으로 여길 수 있다. 또한, 위상 공간은 [[양상 논리]] S4의 모형으로 여길 수 있다. 이 경우 양상 기호 <math>\square</math>(필연 기호)는 집합의 [[내부 (위상수학)|내부]]에, 양상 기호 <math>\diamond</math>(개연 기호)는 집합의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]에 대등한다.

 

 

주어진 집합 <math>X</math> 위의 위상들의 족 <math>\{\mathcal T_i\}_{i\in I}</math>의 [[하한]](만남)은

:<math>I\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Top}</math>

:<math>I\colon X\mapsto(X,\{\varnothing,X\})</math>

 

<math>\operatorname{Top}</math>은 [[완비 범주]]이며 [[쌍대 완비 범주]]이다. 즉, 모든 작은 (= [[고유 모임]] 크기가 아닌) [[극한 (범주론)|극한]]과 [[쌍대극한]]이 존재한다. [[시작 대상]]은 (유일한 위상을 갖춘) [[공집합]] <math>(\varnothing,\{\varnothing\})</math>이며, [[끝 대상]]은 하나의 점을 갖는 공간 <math>(\{\bullet\},\{\varnothing,\{\bullet\}\})</math>이다.

[[파일:Topological space examples.svg|frame|right|300px|집합 {1,2,3} 위의 집합족들 가운데, 처음 네 개는 위상이지만, 붉은색 가위표가 그려진 마지막 두 개는 위상이 아니다.]]

[[유한 집합]] 위의 위상의 경우, 열린 집합들을 그대로 나열할 수 있다. 예들 들어, 집합 ''X'' = {1,2,3} 위에서, 다음은 위상을 이룬다.

* <math>\{\varnothing,\{1,2,3\},\{1\}\}</math>

* <math>\{\varnothing,\{1,2,3\},\{1,2\},\{1\},\{2\}\}</math>

* 아무런 구조 없는 집합 <math>S</math> 위에도 여러 위상을 줄 수 있다.

** 모든 집합을 열린 집합으로 하는 '''[[이산 위상]]'''

** [[쌍대 유한 집합]] 및 [[공집합]]이 열린 집합인 '''쌍대 유한 위상'''({{llang|en|cofinite topology}})

** 보다 일반적으로, 임의의 무한 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, <math>|S\setminus U|<\kappa</math>인 집합 <math>U</math> 및 공집합이 열린 집합인 위상