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P진수: 두 판 사이의 차이

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[[수론]]에서, '''p진수'''(p進數, ''p''-adic number)는 [[유리수]]의 체를 마치 어떤 [[소수 (수론)|소수]] ''p''에 대한 [[로랑 급수]]처럼 해석하여 [[완비 거리 공간|완비]]시켜 얻는 [[체 (수학)|체]]이다.
보다 구체적으로 설명하면, 임의의 소수 p에 대해, p진수들을 전부 모은 p진체는 유리수체의 [[완비 거리 공간|완비화]]이다. 또한 p진수에는 p진 [[부치값매김]](valuation)가 주어져 있기에 [[거리 공간]]이 되며 따라서 [[위상공간위상 공간 (수학)|위상 공간]]이기도 하다. 이 거리 공간은 [[완비 거리 공간]](즉, 모든 [[코시 수열]]이 수렴한다)이며, 그렇기에 p진체 상에서 마치 실수체 상에서와 같은 [[해석학 (수학)|해석학]]을 전개할 수 있는 것이다. p진법 체계의 유용성은 상당 부분 이와 같은 [[대수학|대수적]] 구조와 해석적 구조 사이의 상호 연관성에서 나온다.
 
== 개론 ==
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* <math>\mathbb Q_p</math>는 [[유리수체]]를 부분체로 가지는 [[체 (수학)|체]]이다. 그 [[체의 표수]]는 0이다.
* <math>\mathbb Q_p</math>는 순서 구조를 가하여 [[순서체]]로 만들 수 없다.
* [[위상공간위상 공간 (수학)|위상공간위상 공간]]으로서, p진체 <math>\mathbb Q_p</math>는 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이지만, [[콤팩트 공간|콤팩트]]하지 않다.
 
=== p진 복소수체 ===
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* <math>\mathbb C_p</math>는 대수학적으로 표준 복소수체 <math>\mathbb C</math>와 동형이다. 즉, <math>\mathbb C_p</math>는 <math>\mathbb C</math>에 비표준 [[노름]]을 준 것으로 생각할 수 있다.
** 따라서, <math>|\mathbb C_p|=|\mathbb C|=\mathfrak c</math>이며, [[대수적으로 닫힌 체]]임을 일 수 있다.
* [[위상공간위상 공간 (수학)|위상공간위상 공간]]으로서, <math>\mathbb C_p</math>는 [[하우스도르프 공간]]이지만 [[국소 콤팩트]]하지 않다.
 
== 응용 ==
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/P진수"