로런츠 군: 두 판 사이의 차이

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예를 들면,
* [[특수상대성이론특수 상대성 이론]]의 동역학 법칙들
* [[전자기학]]의 [[맥스웰 방정식]]
* [[양자역학]]의 [[전자]]에 대한 [[디랙 방정식]]
가 변하지 않고 원점이 변하지 않는 변환을 모아놓은 군이다. 로런츠 군의 원소들은 [[직교행렬]], 즉, &Lambda;<sup>−1</sup> = &Lambda;<sup>T</sup> 이고, 계량텐서 ''&eta;''<sub>''&mu;&nu;''</sub> 의 부호가 (+,-,-,-) 이기 때문에 [[직교군]] O(1,3) 라 부르기도 한다.
 
로런츠 군은 군이면서 매끄러운 [[미분다양체매끈한 다양체]]이므로 [[리 군]]을 이룬다.
 
== 연결성분과 제한된 로런츠 군 ==
로런츠 군은 총 네 개의 [[연결공간|연결성분연결 성분]]을 갖는다. 즉, 위상수학적으로 서로 분리된 군의 네 부분들을 생각해 볼 수 있다. 간단히 말해, 로런츠 군의 원소들은 다음의 조건에 따라 네 가지로 분류할 수 있다.
* 시간을 역전시키는가?
* 공간의 방향이 유지되는가?
여기서, 시간이 역전되지 않는 변환을 정시적({{lang|en|orthochronous}})이라고 하고, 방향이 유지되는, 즉 det &Lambda; = 1 인 변환을 고유({{lang|en|proper}})하다고 한다.
 
군의 [[항등원]]은 정시적이며 고유한 연결성분에연결 성분에 들어있으며, 시간이 역전되지 않고 방향이 유지되는 변환들이 모두 포함되어 있다. 이 또한 [[부분군]]을 이루며 리 군이다. 이 연결성분을연결 정시적고유로런츠성분을 '''정시적 고유 로런츠''' 또는 '''제한된 로런츠 군'''({{lang|en|restricted Lorentz group}})이라 하며 SO<sup>+</sup>(1,3)라 쓴다. 경우에 따라선 로런츠 군을 말할때 제한된 로런츠 군을 가리키기도 한다. 또한 제한된 로런츠 군은 로런츠 군의 [[정규부분군정규 부분군]]이기도 하다이다.
 
제한된 로런츠 군에 대한 로런츠 군의 [[몫군]] O(1,3)/SO<sup>+</sup>(1,3)은 [[공간반전]] P 와 [[시간역전]] T 로 구성되어 있으며, <nowiki>{1, P, T, PT}</nowiki> 의 네 가지 원소를 가지고 있다. 이 몫군은 [[클라인 4원군]]과 [[동형]]이다.
반대칭인 4×4 행렬은 6개의 독립적인 변수를 가지고 있으므로, 제한된 로런츠 군은 6개의 매개변수를 갖는다. 이를 매개변수로 하여 제한된 로런츠 군의 무한소변환인 원소를 나타내 보면
:<math> \Lambda = 1 - \frac{i}{2} \omega_{\mu\nu} J^{\mu\nu} \;</math>
로 쓸 수 있다. 여기서 ''J''<sup>''&mu;&nu;''</sup>는 제한된 로런츠 군의 [[생성원]]으로 로런츠 군의 [[표현]]에 따라 달라지며 반대칭이다. 앞의 1/2는 위에서 합 계산이 독립적인 매개변수에매개 변수에 대해서만 해야 하지만, ''&omega;''의 모든 성분에 대해 합이 이루어져 중복 계산이 되었기 때문에 붙은 것이다. 이를 무한소변환이무한소 변환이 아닌 변환으로 확장하면 임의의 제한된 로런츠 군의 원소는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math> \Lambda = e^{-\frac{i}{2} \omega_{\mu\nu} J^{\mu\nu}}</math>
제한된 로런츠 군은 리 군이므로 [[리 대수]]를 갖고 다음과 같이 주어진다.
생성원을 공간벡터로 쓸 땐, 다음과 같이 6개의 매개변수를 벡터 형태로 새로 정의하고
:<math> \theta^i = \frac{1}{2} \epsilon^{ijk} \omega^{jk}, \quad \eta^i = \omega^{i0} </math>
각각에 대한 생성원을 다음과 같이 공간벡터로공간 벡터로 쓴다.
:<math> J^i = \frac{1}{2} \epsilon^{ijk} J^{jk} , \quad K^i = J^{i0} </math>
이 때, 제한된 로런츠 군의 원소는 다음과 같이 쓸 수 있으며