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1번째 줄: [[대수적 위상수학]]에서, '''위상 K이론'''({{lang\|en\|topological K-theory}})은 [[~~위상공간~~위상 공간 (수학)\|~~위상공간~~위상 공간]] 위의 [[~~벡터다발~~벡터 다발]]을 연구하는 분야이다.<ref name="Zois">{{저널 인용\|제목=18 lectures on K-Theory\|이름=Ioannis P.\|성=Zois\|arxiv=1008.1346\|bibcode=2010arXiv1008.1346Z\|날짜=2010-08\|언어고리=en}} </ref> 보다 일반적인 [[K이론]]의 특수한 경우다. 7번째 줄: == 정의 == === K<sup>0</sup> === <math>X</math>가 [[콤팩트 공간\|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이고, <math>k</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자. <math>X</math>의 '''K군'''({{lang\|en\|K-group}}) <math>K^0(X)</math>는 <math>X</math> 위의 <math>k</math>-[[~~벡터다발~~벡터 다발]]들의 [[그로텐디크 군]]이다. 보통 실수 K군은 <math>K_{\mathbb R}^0(X)=KO^0(X)</math> , 복소 K군은 <math>K_{\mathbb C}^0(X)=KU^0(X)</math>라고 쓴다. 여기서 O, U는 [[직교군]]({{lang\|en\|orthogonal group}})과 [[유니터리 군]]({{lang\|en\|unitary group}})의 이름의 약자이다. K군은 [[그로텐디크 군]]이므로 [[아벨 군]]이다. 또한, [[벡터다발]]의 [[텐서곱]]을 통하여 K군은 (곱셈 단위원을 가진) [[가환환]]을 이룬다. 이제부터는 첨자 <math>k</math>를 암묵적으로 생략한다. 20번째 줄: [[벡터다발]]의 차원에 해당하는, 다음과 같은 [[군 준동형사상]]이 존재한다. :<math>\dim\colon K^0(X)\to\check H^0(X,\mathbb Z)</math> 여기서 <math>\check H^0(X,\mathbb Z)</math>는 정수 계수를 가지는 [[체흐 코호몰로지]]다. 만약 <math>X</math>가 [[~~연결공간~~연결 공간]]이라면 <math>\check H^0(X,\mathbb Z)=\mathbb Z</math>이다. 이 경우 <math>\dim\colon K^0(X)\to\mathbb Z</math>이며, [[벡터공간]] <math>K_n^0(X)=\dim^{-1}(n)</math>은 <math>n</math>차원 벡터다발들이 이루는 [[그로텐디크 군]]이다. '''상대 K군'''({{llang\|en\|relative K-group}})은 [[상대 호몰로지]]와 유사한 개념으로, 다음과 같다. <math>A\subset X</math>가 ~~부분공간이라고~~부분 공간이라고 하자. 그렇다면 <math>X</math>의 <math>A</math>에 대한 '''상대 K군''' <math>K^0(X,A)</math>는 다음과 같다. :<math>K^0(X,A)=\tilde K^0(X/A)</math> 여기서 <math>X/A</math>의 점은 물론 <math>A/A\in X/A</math>이다. 44번째 줄: == 성질 == === 펑터성과 코호몰로지 === 연속함수 <math>X\to Y</math>가 주어지면, 이에 따라 [[선형변환]] <math>K_n(Y)\to K_n(X)</math>가 존재한다. 이는 [[점 갖춘 ~~위상공간의~~공간]]의 [[호모토피]] 범주에서 [[아벨 군]]의 범주로 가는 [[반변펑터]]를 이룬다. 보다 일반적으로, 위상 K이론은 [[코호몰로지]]에 대한 [[에일렌베르크-스틴로드 공리]]들을 차원 공리를 제외하고 모두 만족시킨다. 따라서, 위상 K이론은 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. (차원 공리에 따르면 <math>H^n(\{\bullet0\})=0\forall n>0</math>이어야 하지만, K이론에서는 <math>K^{2n}(\{\bullet0\})=\mathbb Z</math>이다.) 특히, 위상 K이론은 [[호모토피]] 불변량이다. 즉, 서로 [[호모토피 동치]]인 공간들의 K군들은 동형이다. 54번째 줄: 여기서 <math>[X,Y]</math>는 <math>X\to Y</math> [[호모토피류]]들의 집합이다. [[분류 공간]] <math>BO_n</math>은 무한차원 실수 벡터 공간에서 원점을 지나는 <math>n</math>차원 부분공간들의 공간([[그라스만 공간]])이며, [[분류 공간]]<math>BU_n</math>은 무한차원 복소 [[힐베르트 공간]]에서 원점을 지나는 복소 <math>n</math>차원 부분공간들의 공간이다. 또한, <math>X</math>가 <math>n</math>차원 [[~~연결공간~~연결 공간]]이고 <math>k>n/2</math>일 때, :<math>\tilde KO(X)\cong[X,BO_k]</math> :<math>\tilde KU(X)\cong[X,BU_k]</math>

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