"특이 호몰로지"의 두 판 사이의 차이

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== 정의 ==
=== 특이단체 ===
<math>n</math>차원 '''표준단체표준 단체'''(標準單體, {{lang|en|standard simplex}}) <math>\Delta^n\subset\mathbb R^{n+1}</math>은 다음과 같다.
:<math>\Delta^n=\left\{(x_0,x_1,\dots,x_n)|0\le x_i\le1,\;\sum_ix_i=1\right\}</math>.
이는 [[선분]]과 [[삼각형]], [[정사면체|사면체]]를 일반화한 것이다.
 
<math>X</math>가 [[위상공간위상 공간 (수학)|위상공간위상 공간]]이라고 하자. <math>X</math> 위의 <math>n</math>차원 '''특이단체특이 단체'''(特異單體, {{lang|en|singular complex}})는 [[연속함수연속 함수]] <math>\sigma_n\colon\Delta^n\to X</math>를 뜻한다. <math>X</math> 위의 <math>n</math>차원 '''사슬'''({{lang|en|chain}})은 모든 <math>n</math>차원 특이단체로특이 단체로 의하여 생성되는 자유 [[아벨 군]]의 원소다. 이 아벨 군을 <math>C_n(X)</math>이라고 쓰자.
 
=== 경계 연산자 ===
표준단체표준 단체 <math>\Delta^n</math>의 꼭짓점들을 <math>p_1,\dots,p_n</math>이라고 하자. 표준단체 <math>\Delta^n</math>의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 <math>n+1</math>개의 꼭짓점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어
:<math>[p_0,p_2,\dots,p_{k-1},p_{k+1},\dots,p_n]</math>
의 꼴이다. 이를 편의상
로 쓰자.
 
<math>n</math>차원 특이단체특이 단체 <math>\sigma_n\colon\Delta^n\to X</math>의 '''경계'''(境界, {{lang|en|boundary}}) <math>\partial_n\sigma_n\in C_{n-1}(X)</math>는 다음과 같다.
:<math>\partial_n\sigma_n=\sum_{k=1}^n(-1)^k\sigma|_{[p_0,\dots,\hat p_k,\dots,p_n]}</math>.
경계 연산자 <math>\partial_n</math>는 특이단체뿐만특이 단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 <math>\partial_n\colon C_n\to C_{n-1}</math>이다. 이는 [[아벨 군]]의 [[군 준동형사상]]을 이룬다. 또한, <math>\partial_{n-1}\circ\partial_n\colon C_n(X)\to C_{n-2}(X)</math>는 항상 0이다. 따라서 <math>(C_\bullet(X),\partial_\bullet)</math>은 [[사슬 복합체]]를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 [[호몰로지]] 군
:<math>H_n(X)=\ker\partial_n/\operatorname{im}\partial_{n+1}</math>
들을 '''특이 호몰로지'''라고 한다.