합곱

수학, 특히 대수적 위상수학에서 컵곱(cup product) 인접한 두 쌍대륜체 p와 q를 p + q의 쌍대륜 다양체로 바꾸는 방법이다. 이는 단계화된 환 안의 코호몰로지 공간 X를 코호몰로지 환이라고 하는 H^∗(X)로 바꾸는, 코호몰로지에서 연관된(또한 분배된) 단계화된 가환성 곱 연산이라고 할 수 있다. 컵곱은 1935년~1938년 제임스 워델 알렉산더, 에두아르트 체흐, 해슬러 휘트니의 논문에서 처음 쓰였으며, 이후 1944년 사무엘 에일렌베르크이 일반화시켜서 사용하기 시작했다.

정의

특이 코호몰로지에서, 컵곱은 위상 공간 X의 단계환적 코호몰로지 환 H^∗(X) 곱을 만들어주는 연산이다.

코체인에서 곱 연산은 다음과 같이 진행된다. 만약 c^p이 p-코체인이고 d^q이 q-코체인이라면,

$(c^{p}\smile d^{q})(\sigma )=c^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot d^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})$

여기서 σ 는 특이 (p + q) -단체이고 $\iota _{S},S\subset \{0,1,...,p+q\}$ 는 정점이 $\{0,...,p+q\}$에 있는 $(p+q)$-단체 안의 S에 의한 단체 다양화 호몰로지 매장이다.

약식으로, 각각 $\sigma \circ \iota _{0,1,...,p}$는 σ의 p번째 앞면이고, $\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}$는 σ의 q번째 뒷면이다.

쌍대륜체 c^p와 d^q의 컵곱의 사슬 복합체는

$\delta (c^{p}\smile d^{q})=\delta {c^{p}}\smile d^{q}+(-1)^{p}(c^{p}\smile \delta {d^{q}}).$

로 주어진다.

두 쌍대륜체의 컵곱은 다시 쌍대륜체가 되며, 쌍대륜체 사슬 복합체의 컵곱은 다시 사슬 복합체가 된다. 컵곱 연산은 다음과 같은 코호몰로지 선형 연산을 유도할 수 있다.

$H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).$

더 보기

• 특이 호몰로지
• 호몰로지
• 모자곱
• 매시 곱

서지

• James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (hardcover) ISBN 0-201-62728-0 (paperback)
• Glen E. Bredon, "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993) ISBN 0-387-97926-3
• Allen Hatcher, "Algebraic Topology", Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0