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cocycle = 쌍대순환 ([http://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=cocycle 대한수학회 용어집])
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(cocycle = 쌍대순환 ([http://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=cocycle 대한수학회 용어집]))
[[수학]], 특히 [[대수적 위상수학]]에서 '''컵곱'''(cup product)은 인접한 두 [[쌍대륜체]]차수가 ''p'' ''q''인 [[쌍대사슬]]을 차수가 ''p'' + ''q'' 쌍대륜쌍대사슬로 다양체로 바꾸는이어붙이는 방법이다. 이는 단계화된 환[[등급환]] 안의 코호몰로지 공간 ''X''를 [[코호몰로지 환]]이라고 하는 ''H''<sup>∗</sup>(''X'')로 바꾸는, 코호몰로지에서 연관된(또한 분배된) 단계화된등급 가환성가환 곱 연산이라고 할 수 있다. 컵곱은 1935년~1938년 [[제임스 워델 알렉산더]], [[에두아르트 체흐]], [[해슬러 휘트니]]의 논문에서 처음 쓰였으며, 이후 1944년 [[사무엘 에일렌베르크]]이 일반화시켜서 사용하기 시작했다.
 
== 정의 ==
[[특이 코호몰로지]]에서, 컵곱은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] ''X''의 [[단계환|단계환적]] [[코호몰로지 환]] ''H''<sup>∗</sup>(''X'') 곱을 만들어주는 연산이다.
 
[[코호몰로지|코체인쌍대사슬]]에서 곱 연산은 다음과 같이 진행된다. 만약 ''c''<sup>''p''</sup>이 ''p''-코체인이고
''d''<sup>''q''</sup>이 ''q''-코체인이라면쌍대사슬이라면,
:<math>(c^p \smile d^q)(\sigma) = c^p(\sigma \circ \iota_{0,1, ... p}) \cdot d^q(\sigma \circ \iota_{p, p+1 ,..., p + q})</math>
여기서 σ 는 [[특이 호몰로지|특이]] (''p'' + ''q'') -[[단체 (수학)|단체]]이고 <math>\iota_S , S \subset \{0,1,...,p+q \} </math> 는 정점이 <math>\{0,...,p+q \}</math>에 있는 <math>(p+q)</math>-단체 안의 S에 의한 단체 다양화 호몰로지 [[매장 (수학)|매장]]이다.
약식으로, 각각 <math> \sigma \circ \iota_{0,1, ..., p}</math>는 σ의 ''p''번째 '''앞면'''이고, <math>\sigma \circ \iota_{p, p+1, ..., p + q}</math>는 σ의 ''q''번째 '''뒷면'''이다.
 
쌍대륜체쌍대사슬 c<sup>''p''</sup>와 d<sup>''q''</sup>의 컵곱의 [[사슬 복합체]]는
:<math>\delta(c^p \smile d^q) = \delta{c^p} \smile d^q + (-1)^p(c^p \smile \delta{d^q}).</math>
로 주어진다.
 
쌍대륜체의쌍대사슬의 컵곱은 다시 쌍대륜체가쌍대사슬이 되며, 쌍대륜체쌍대사슬의 [[사슬 복합체의복합체]]의 컵곱은 다시 [[사슬 복합체가복합체]]가 된다. 컵곱 연산은 다음과 같은 코호몰로지 선형 연산을 유도할 수 있다.
: <math> H^p(X) \times H^q(X) \to H^{p+q}(X). </math>