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[[대수적 위상수학]]에서, '''컵곱'''({{llang|en|cup product}})은 차수가 ''p''및 ''q''인 [[쌍대사슬]]을 차수가 ''p'' + ''q''인 쌍대사슬로 이어붙이는 방법이다연산이다. 이는이에 따라, [[등급환코호몰로지]] 안의[[호몰로지]]와 코호몰로지 공간 ''X''를달리 [[코호몰로지 환등급환]]이라고 하는 ''H''<sup>∗</sup>(''X'')로 바꾸는, 코호몰로지에서 연관된(또한 분배된) 등급 가환 곱 연산이다이룬다.
 
== 정의 ==
=== 쌍대사슬의 컵곱 ===
[[특이 코호몰로지]]에서, 컵곱은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] ''X''의 [[등급환|등급환적]] [[코호몰로지 환]] ''H''<sup>∗</sup>(''X'') 곱을 만들어주는 연산이다.
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 [[가환환]] <math>R</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬의 '''컵곱'''은 다음과 같은 <math>R</math>-[[선형 변환]]이다.
: <math>\smile\colon HC^p(X;R) \times HC^q(X;R) \to HC^{p+q}(X;R). </math>
 
이는 다음과 같이 정의된다. 임의의 <math>p</math>차 특이 쌍대사슬 <math>c\in C^p(X;R)</math> 및 <math>q</math>차 특이 쌍대사슬 <math>d\in C^q(X;R)</math> 및 <math>(p+q)</math>차 특이 사슬 <math>\sigma\colon\Delta^{p+q}\to X</math>에 대하여,
[[코호몰로지|쌍대사슬]]에서 곱 연산은 다음과 같이 진행된다. 만약 ''c''<sup>''p''</sup>이 ''p''-쌍대사슬이고
:<math>c \smile d\colon\sigma \mapsto c(\sigma \circ \iota_{0,1, ... p}) \cdot d(\sigma \circ \iota_{p, p+1 ,..., p + q})</math>
''d''<sup>''q''</sup>이 ''q''-쌍대사슬이라면,
:여기서 <math>(c^\iota_S , S \subset \{0,1,...,p+q \smile} d^</math> 는 꼭짓점이 <math>\{0,...,p+q)( \sigma)}</math>에 =있는 c^<math>(p+q)</math>-단체 안의 S에 의한 단체 다양화 호몰로지 [[매장 (수학)|매장]]이다. 여기서 각각 <math> \sigma \circ \iota_{0,1, ..., p})</math>는 \cdotσ의 d^q(''p''번째 '''앞면'''이고, <math>\sigma \circ \iota_{p, p+1 , ..., p + q})</math>는 σ의 ''q''번째 '''뒷면'''이다.
여기서 σ 는 [[특이 호몰로지|특이]] (''p'' + ''q'') -[[단체 (수학)|단체]]이고 <math>\iota_S , S \subset \{0,1,...,p+q \} </math> 는 정점이 <math>\{0,...,p+q \}</math>에 있는 <math>(p+q)</math>-단체 안의 S에 의한 단체 다양화 호몰로지 [[매장 (수학)|매장]]이다.
 
=== 코호몰로지류의 컵곱 ===
약식으로, 각각 <math> \sigma \circ \iota_{0,1, ..., p}</math>는 σ의 ''p''번째 '''앞면'''이고, <math>\sigma \circ \iota_{p, p+1, ..., p + q}</math>는 σ의 ''q''번째 '''뒷면'''이다.
쌍대사슬의 컵곱은 다음과 같이 쌍대경계 <math>\delta</math>와 호환된다.
 
:<math>\delta(c^p \smile d^q) = \delta{ c^p} \smile d^q + (-1)^p{\deg c}(c^p \smile \delta{ d^q}).</math>
쌍대사슬 c<sup>''p''</sup>와 d<sup>''q''</sup>의 컵곱의 [[사슬 복합체]]는
따라서, 쌍대사슬의 컵곱은 코호몰로지류 위에도 정의된다. 이에 따라, 코호몰로지류의 '''컵곱'''
:<math>\delta(c^p \smile d^q) = \delta{c^p} \smile d^q + (-1)^p(c^p \smile \delta{d^q}).</math>
:<math>\smile\colon H^p(X;R)\times H^q(X;R)\to H^{p+q}(X;R)</math>
로 주어진다.
이 존재하게 된다. 이를 곱으로 삼으면, 코호몰로지 군 <math>H^\bullet(X;R)</math>는 [[등급환]]을 이룬다.
 
두 쌍대사슬의 컵곱은 다시 쌍대사슬이 되며, 쌍대사슬의 [[사슬 복합체]]의 컵곱은 다시 [[사슬 복합체]]가 된다. 컵곱 연산은 다음과 같은 코호몰로지 선형 연산을 유도할 수 있다.
: <math> H^p(X) \times H^q(X) \to H^{p+q}(X). </math>
 
== 성질 ==
코호몰로지에서코호몰로지류의 컵곱 연산은컵곱은 다음과 같은 성질을등급 교환환 법칙을 만족한다따른다.
:<math>\alpha^p \smile \beta^q = (-1)^{pq\deg\alpha\deg\beta}(\beta^q \smile \alpha^p)</math>
그러므로, 다음과 같은 곱은 [[최상교환|등급 가환]]이라고 할 수 있다.
 
컵곱은 [[함자 (수학)|함자]]를 이룬다. 구체적으로, 임의의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 코호몰로지의 [[당김]]
컵곱은 [[함자 (수학)|함자적]]이므로, 만약
:<math>f\colon X\to Y</math>
이 연속 함수이고,
:<math>f^*\colon H^*(Y)\to H^*(X)</math>
을 정의한다면, 다음이 성립한다. 임의의 <math>\alpha,\beta\in H^\bullet(Y)</math>에 대하여,
이 코호몰로지에서 [[준동형사상]]으로 유도된다면,
:<math>f^*(\alpha \smile \beta) =f^*(\alpha) \smile f^*(\beta),</math>
는 ''H''즉, <supmath>*</sup>(''Y'')의 α, β 모든 코호몰로지류에서 성립한다. 다른 말로, ''f'' <sup>^*</supmath>는 [[등급환]]의 [[준동형사상]]이라고 할 수 있다이룬다.
 
== 역사 ==
* {{책 인용|이름=Glen E.|성=Bredon|제목=Topology and geometry|출판사=Springer|날짜=1993|isbn=0-387-97926-3|언어고리=en}}
* {{책 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |날짜= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |zbl=1044.55001|mr=1867354|isbn=978-0-521-79540-1|언어고리=en}}
 
== 바깥 고리 ==
* {{매스월드|id=CupProduct|title=Cup product}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/cup+product|제목=Cup product|작품명=nLab|언어고리=en}}
 
== 같이 보기 ==