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연속성과 점열의 수렴 사이에 대한 관계를 일부 추가 (함수의 연속을 참고)
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math> 및 점 <math>x\in X</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>f</math>가 '''점 <math>x</math>에서 연속 함수'''이다({{lang|en|continuous at the point ''x''}})라고 한다.
* 임의의 점 <math>x\in X</math> 및 [[근방]] <math>V\ni f(x)</math>에 대하여, <math>f(U)\subseteq V</math>인 <math>x</math>의 [[근방]] <math>U\ni x</math>가 존재한다.
* 임의의 [[그물 (수학)|그물]] <math>x_\alpha\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x_\alpha\to x</math>라면 <math>f(x_\alpha)\to f(x)</math>이다.
 
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 '''연속 함수'''라고 한다.
* 임의의 양의 [[실수]] <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 [[실수]] <math>\delta_\epsilon</math>이 존재한다.
** 임의의 <math>x'\in X</math>에 대하여, 만약 <math>d_X(x,x')<\delta_\epsilon</math>라면, <math>d_Y(f(x),f(x'))<\epsilon</math>이다.
* 임의의 [[수열|점열]] <math>x_i\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x_i\to x</math>라면 <math>f(x_i)\to f(x)</math>이다.
 
=== 실수값 연속 함수 ===