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** ''X'' 가 [[연결 공간]]이라면, ''f''(''X'') 도 [[연결 공간]]이다.
** ''X'' 가 [[경로 연결 공간]]이라면, ''f''(''X'') 도 [[경로 연결 공간]]이다.
 
임의의 두 위상 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 점렬 연속 함수는 항상 연속 함수이다. 만약 <math>X</math>가 [[제1 가산 공간]]이라면, <math>X</math>와 <math>Y</math> 사이의 함수에 대하여 연속 함수와 점렬 연속 함수가 서로 [[동치]]이다.
 
{{참고|엡실론-델타 논법}}
두 [[거리 공간]] <math>(X,d_X)</math> 및 <math>(Y,d_Y)</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math> 및 점 <math>x\in X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f\colon X\to Y</math>는 <math>x</math>에서 [[연속 함수]]이다함수이다.
* 임의의 양의 [[실수]] <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 [[실수]] <math>\delta_\epsilon</math>이 존재한다.
** 임의의 <math>x'\in X</math>에 대하여, 만약 <math>d_X(x,x')<\delta_\epsilon</math>라면, <math>d_Y(f(x),f(x'))<\epsilon</math>이다.
* <math>f</math>는 <math>x</math>에서 점렬 연속 함수이다. 즉, 임의의 [[수열|점열]] <math>x_i\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x_i\to x</math>라면 <math>f(x_i)\to f(x)</math>이다.
 
=== 실수값 연속 함수 ===