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<math>K</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]] ([[복소수체]] 등)라고 하자. <math>\mathbb P^n</math>이 <math>K</math>에 대한 [[사영 공간]]이라고 하자. <math>S\subset K[x_1,\dots,x_n]</math>이 [[동차 다항식]]으로만 이루어져 있다고 하자. 그렇다면 <math>V(S)</math>가 <math>S</math>의 원소들의 근의 교집합이라고 하자. 즉
:<math>V(S)=\{x|f(x)=0\forall f\in S\}</math>
이다. (다항식이 [[동차 다항식]]이 아닌 경우에는 [[사영 공간]]에서의 근을 정의할 수 없다.) '''사영 대수 집합'''(射影代數集合, {{llang|en|projective algebraic set}}) <math>X\subset\mathbb A^n</math>이란 <math>X=V(S)</math>인 [[동차 다항식]] 부분 집합 <math>S\subset K[x_1,\dots,x_n]</math>이 존재하는 부분 집합이다. '''사영 다양체'''는 두 개의 사영 대수집합의 자명하지 않는 [[합집합]](즉, 둘 중 하나가 다른 하나의 부분 집합이 아닌 경우)으로 나타낼 수 없는 사영 대수집합이다. '''준사영 다양체'''는 사영 대수다양체의 ([[자리스키 위상]]에 따라) [[열린 집합]]이다. [[아핀 공간]]은 [[사영공간]]의 열린 부분집합이므로, 모든 아핀 다양체는 준사영 다양체다.
 
== 성질 ==
"국소적으로 아핀 다양체와 동형인 공간"이라는, 대수다양체의 추상적인 정의는 [[앙드레 베유]]가 1946년에 제안하였다.<ref>{{책 인용|성=Weil|이름=André|저자고리=앙드레 베유|연도=1946|제목=Foundations of Algebraic Geometry|기타=American Mathematical Society Colloquium Publications 29|위치=Providence, Rhode Island|출판사=American Mathematical Society|언어고리=en}}</ref> 베유는 원래 추상적 대수다양체의 개념을 [[야코비 다양체]]를 정의하려고 정의했는데,<ref>A. Weil, "Courbes algébriques et variétés abéliennes. Variétés abéliennes et courbes algébriques", Hermann (1946,1971) MR0029522 Zbl 0208.49202</ref> 베유는 야코비 다양체가 사실 (준)사영 대수다양체라는 것을 보일 수 없었다. 이후 1954년에 [[저우웨이량]]이 사실은 사영 다양체라는 것을 보였다.<ref>W.L. Chow, "The Jacobian variety of an algebraic curve" Amer. J. Math., 76 (1954) pp. 453–476 MR0061421 Zbl 0056.14404</ref>
 
베유 이후, 1955년에 [[장피에르 세르]]가 대수다양체를 [[환 달린 공간]]의 개념을 사용하여 재정의하였다.<ref>{{저널 인용|doi=10.2307/1969915|이름=Jean-Pierre|성=Serre|저자고리=장피에르 세르|제목=Faisceaux algébriques cohérents|저널={{lang|en|Annals of Mathematics}}|연도=1955|월=3|권=61|호=2|쪽=197-278|url=http://www.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf|언어고리=fr}}</ref> 이 정의는 [[복소수]]에 대한 기존의 복소 대수기하학을 임의의 [[체 (수학)|체]] 위에서도 할 수 있는 토대를 마련하였다. 이후 [[알렉산더 그로텐디크]]의 [[스킴 (수학)|스킴 이론]]이 등장하면서, 대수다양체는 적절한 성질을 만족시키는 [[스킴 (수학)|스킴]]으로 다시 한 번 재정의되었다.
 
== 참고 문헌 ==