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{{다른 뜻|대수 구조 다양체|[[대수기하학]]에서 방정식의 해의 집합|일련의 항등식들을 만족시키는 [[대수 구조]]들의 [[모임 (집합론)|모임]]}}
[[대수기하학]]에서, '''대수다양체'''(代數多樣體, {{llang|en|algebraic variety}})는 국소적으로 [[다항식]]들로 주어지는 [[방정식]]들의 [[해영점 (수학)|해]]들의집합처럼 [[집합]]이다보이는 공간이다. 고전적 [[대수기하학]]에서 다루는 기본적인 대상이다.
 
== 정의 ==
<math>K</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]라고 하자.
<math>K</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]라고 하자. <math>k</math>에 대한 '''대수다양체'''는 국소적으로 아핀 대수다양체와 동형인 [[환 달린 공간]]이다. 즉, [[환 달린 공간]] <math>X</math> 위에 [[열린 덮개]] <math>\{U_\alpha\}</math>가 존재하여, <math>U_\alpha</math> 각각이 아핀 대수다양체를 이루는 경우다.<ref name="Hartshorne">{{책 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic geometry]]|저자고리=로빈 하츠혼|고리=|출판사=Springer| isbn = 978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어고리=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|58}}
 
[[다항식환]] <math>K[x_1,\dots,x_n]</math>의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\subseteq K[x_1,\dots,x_n]</math>에 대하여,
:<math>V(\mathfrak p)=\{x\in K^n\colon p(x)=0\forall p\in\mathfrak p\}</math>
라고 하자. 이 위에는 [[자리스키 위상]] 및 [[다항함수]]들의 [[층 (수학)|층]] <math>\mathcal O_{V(\mathfrak p)}</math>을 정의할 수 있다.
 
<math>K</math>에 대한 '''대수다양체''' <math>(X,\mathcal O_X)</math>는 다음과 같은 [[순서쌍]]이다.
* <math>X</math>는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.
* <math>\mathcal O_X</math>는 <math>X</math> 위의, 결합 가환 <math>K</math>-대수들의 [[층 (수학)|층]]이다.
이 데이터는 다음 세 조건들을 만족시켜야 한다.
* (국소 아핀 조건) <math>X</math> 위에, 다음 조건을 만족시키는 [[열린 덮개]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>가 존재한다.
** 각 <math>i\in I</math>에 대하여, <math>(U_i,\mathcal O_X|_{U_i})</math>는 <math>K^n</math> 위의 어떤 아이디얼 <math>\mathfrak p_i\subset K[x_1,\dots,x_n]</math>과 [[동형]]이다.
* (연결성) <math>X</math>는 [[연결 공간]]이다.
* (분리성) 대각 부분 집합 <math>\Delta\subset X\times X</math>가 [[닫힌 집합]]이다.
 
<math>K</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]라고 하자. <math>k</math>에 대한 '''대수다양체'''는 국소적으로 아핀 대수다양체와 동형인 [[환 달린 공간]]이다. 즉, [[환 달린 공간]] <math>X</math> 위에 [[열린 덮개]] <math>\{U_\alpha\}</math>가 존재하여, <math>U_\alpha</math> 각각이 아핀 대수다양체를 이루는 경우다.<ref name="Hartshorne">{{책 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic geometry]]|저자고리=로빈 하츠혼|고리=|출판사=Springer| isbn = 978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어고리=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|58}}
 
=== 스킴 이론을 통한 정의 ===
이 정의는 [[스킴 (수학)|스킴 이론]]을 사용하여 서술할 수 있다. [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대하여, '''<math>K</math>-대수다양체'''는 다음 조건들을 모두 만족시키는 <math>K</math>-스킴 <math>X\to\operatorname{Spec}K</math>이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|105}}
* 기약 스킴({{llang|en|irreducible scheme}})이다. 이는 대수다양체를 기약 대수 집합으로 국한시키는 것이며, 위상 공간으로서의 [[연결 공간|연결성]]보다 더 강한 조건이다.