벡터 공간: 두 판 사이의 차이

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{{본문|직합}}
<math>K</math> 위의 벡터 공간들의 집합 <math>\{V_i\}_{i\in I}</math>이 주어졌을 때, 이들의 '''[[직합]]'''은 다음과 같다.
:<math>\coprod_bigoplus_{i\in I}V_i=\left\{a\in \prod_{i\in I}V_i\colon|\{i\in I\colon a_i\ne0\}|<\aleph_0\right\}\subseteq\prod_{i\in I}V_i</math>
즉, 직접곱에서, 오직 유한 개의 성분만 0이 아닌 원소들로 구성된 부분 집합이다. 이는 벡터 공간의 범주에서의 [[쌍대곱]]이며, 가군의 [[직합]]의 특수한 경우이다. 즉, 자연스러운 포함 사상
:<math>\iota_i\colon V_i\hookrightarrow\prod_bigoplus_{i\in I}V_i</math>
가 존재하며, 따라서 각 <math>V_i</math>는 <math>\prod_{i\in I}V_i</math>의 부분 공간을 이룬다.
 
유한 직합은 직접곱과 같으나, 무한 직합은 일반적으로 직접곱의 부분 공간이다. 만약 <math>S_i\subset V_i</math>가 <math>V_i</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]]라면,
:<math>\bigcup_{i\in I}\iota_i(S_i)\subset\bigoplus_{i\in I}V_i</math>
는 <math>\bigoplus_{i\in I}V_i</math>의 기저를 이룬다. 따라서,
:<math>\dim\bigoplus_{i\in I}V_i=\sum_{i\in I}\dim V_i</math>
이다. 여기서 좌변은 [[기수 (수학)|기수]]의 합이다.
 
=== 텐서곱 ===