군의 표현: 두 판 사이의 차이

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{{혼동|군의 표시}}
[[군론]]에서, 군의 '''표현'''(表現, {{llang|en|representation}})은 [[군 (수학)|군]]을 [[벡터공간벡터 공간]]의 [[일반선형군]]의 부분군으로 나타내는 [[군 준동형 사상]]이다. 이를 사용하여, [[군론]]의 문제를 [[선형대수학]]적 기법으로 다룰 수 있다.
 
== 정의 ==
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여기서, ''e'' 는 ''G'' 의 항등원, 1 은 GL(''V'') 의 항등원이다. 즉, 항등원은 항등원으로 대응되고, 군의 구조가 보존이 되는 것을 요구한다.
 
만약 표현이 [[단사 함수]]라면, '''충실한 표현'''(忠實한表現, {{llang|en|faithful representation}})이라고 한다.
 
표현으로 얻어지는 연산자들이 작용하는 벡터공간[[벡터 공간]] ''V'' 를 '''표현 공간'''({{llang|en|representation space}})이라 하고, ''V'' 의 ([[벡터공간의벡터 차원|차원공간]]으로서의) 차원을 이 표현의 '''차원'''({{lang|en|dimension}}) 이라고 한다. [[언어의 남용]]으로서, ''G'' 에서 GL(''V'') 로의 사상이 무엇인지가 명확할 때에는 ''V'' 를 ''G'' 의 표현이라 부르기도 한다.
 
''V'' 가 유한한 차원 ''n'' 일 때에는 ''n'' 을 '''차수'''({{lang|en|degree}})라 부르기도 한다. 이 때에는, ''V'' 의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 하나 선택하여 GL(''V'') 를 ''K'' 상의 ''n''×''n'' [[가역행렬]]들의 군 GL(''n'', ''K'') 와 동일시하는 것이 일반적이다.
 
''G'' 가 [[위상군]]이고 ''V'' 가 [[위상 벡터 공간]]일 경우, ''G'' 의 ''V'' 에 대한 표현 ''D'' 가 '''연속 표현'''(連續表現, {{llang|en|continuous representation}})이라는 것은
:<math>\begin{array}{lll}
\Phi: & G\times V & \to V