위상 K이론: 두 판 사이의 차이

<math>X</math>가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이고, <math>k</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자. <math>X</math>의 '''K군'''({{lang|en|K-group}}) <math>K^0(X)</math>는 <math>X</math> 위의 <math>k</math>-[[벡터 다발]]들의 [[그로텐디크 군]]이다. 보통 실수 K군은 <math>K_{\mathbb R}^0(X)=KO^0(X)</math> , 복소 K군은 <math>K_{\mathbb C}^0(X)=KU^0(X)</math>라고 쓴다. 여기서 O, U는 [[직교군]]({{lang|en|orthogonal group}})과 [[유니터리 군]]({{lang|en|unitary group}})의 이름의 약자이다. K군은 [[그로텐디크 군]]이므로 [[아벨 군]]이다. 또한, [[벡터다발벡터 다발]]의 [[텐서곱]]을 통하여 K군은 (곱셈 단위원을 가진) [[가환환]]을 이룬다.

[[벡터다발벡터 다발]]의 차원에 해당하는, 다음과 같은 [[군 준동형사상]]이 존재한다.

여기서 <math>\check H^0(X,\mathbb Z)</math>는 정수 계수를 가지는 [[체흐 코호몰로지]]다. 만약 <math>X</math>가 [[연결 공간]]이라면 <math>\check H^0(X,\mathbb Z)=\mathbb Z</math>이다. 이 경우 <math>\dim\colon K^0(X)\to\mathbb Z</math>이며, [[벡터공간벡터 공간]] <math>K_n^0(X)=\dim^{-1}(n)</math>은 <math>n</math>차원 벡터다발들이벡터 다발들이 이루는 [[그로텐디크 군]]이다.

[[천 지표]] <math>\operatorname{ch}\colon\operatorname{Vect}(X)\to H^\bullet(X)</math>는 <math>X</math> 위의 [[벡터다발벡터 다발]]들의 [[모노이드]] <math>\operatorname{Vect}(X)</math>로부터 짝수 차수 유리수 코호몰로지 <math>H^0(X)\oplus H^2(X)\oplus\dotsb\subset H^\bullet(X;\mathbb Q)</math>로 가는 모노이드 [[준동형사상]]이다.<ref name="Zois"/>{{rp|40–45}}<ref name="Hatcher">{{책 인용|제목=Vector Bundles and K-Theory|이름=Allen|성=Hatcher|날짜=2009-05|판=버전 2.1|url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf|언어고리=en}}</ref>{{rp|100–102}} 이는 [[그로텐디크 군]] 연산을 통해, 다음과 같은 [[환 준동형사상]] <math>\operatorname{ch}\colon K^0(X)\to H^\bullet(X;\mathbb Q)</math>로 확장된다. 즉, <math>[E],[F]\in K^0(X)</math>라고 하면,