"전단사 함수"의 두 판 사이의 차이

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[[파일:Bijection.svg|thumb|전단사함수]]
[[수학]]에서, '''전단사함수전단사 함수'''(全單射函數, {{llang|en|bijection}})는 [[집합]] ''X''에서 ''Y''로의 함수 ''f'' 중에서 모든 ''y''에 대해 ''f''(''x'')=''y''를 만족하는 ''x''가 하나만 있는 전사함수를 말한다. '''일대일 대응'''이라고도 한다.
 
== 정의 ==
두 [[집합]] <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 '''전단사 함수'''라고 한다.
* 임의의 <math>y\in X</math>에 대하여, <math>f(x)=y</math>인 <math>y</math>가 유일하게 존재한다.
* [[전사 함수]]이며 [[단사 함수]]이다.
* 집합의 범주에서의 [[동형 사상]]이다. 즉, <math>f\circ g=\operatorname{id}_Y</math>, <math>g\circ f=\operatorname{id}_X</math>인 함수 <math>g\colon Y\to X</math>가 존재한다. 이러한 <math>g</math>를 <math>f</math>의 '''[[역함수]]'''라고 한다.
 
== 성질 ==
두 집합 <math>X</math>와 <math>Y</math> 사이에 전단사 함수가 존재한다면, <math>X</math>의 [[집합의 크기]]와 <math>Y</math>의 [[집합의 크기]]는 같다.
 
집합 <math>X</math> 위의 전단사 함수 <math>X\to X</math>들의 집합은 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(X)</math>라는 [[군 (수학)|군]]을 이루며, 이는 집합의 범주에서의 [[자기 동형군]]이다.
 
[[유한 집합]] <math>X</math> 위에서, 집합 <math>Y</math>로 가는 전단사 함수의 수는 다음과 같다.
:<math>\begin{cases}|X|!&|X|=|Y|\\0&|X|\ne|Y|\end{cases}</math>
 
== 바깥 고리 ==
* {{eom|title=Bijection}}
* {{매스월드|id=Bijection|title=Bijection}}
 
== 같이 보기 ==
*[[전사함수전사 함수]]
*[[단사함수]](일대일단사 함수)]]
*[[동형사상동형 사상]]
 
{{토막글|수학}}