결합 대수: 두 판 사이의 차이
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{{다른 뜻|근접 대수|[[결합 법칙]]을 만족시키는 일반적인 [[대수 (환론)|대수]]|[[순서론]]과 [[조합론]]에서, 근접 관계({{llang|en|incidence}})를 추상화한 대수적 구조}}
[[추상대수학]]에서, '''결합 대수'''({{llang|en|associative algebra}})는 [[결합 법칙]]을 만족시키는 [[대수 (환론)|대수]]이다. 즉, [[가군]]과 [[유사환]]의 구조를 동시에 갖춘 [[대수 구조]]이다.
== 정의 ==
[[가환환]] <math>R</math> 위의 '''결합 대수''' <math>(M,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된 [[대수 구조]]이다.
* <math>(M,+,\{r\cdot\}_{r\in R})</math>는 <math>R</math>의 [[가군]]을 이룬다.
* <math>(M,+,*)</math>은 [[유사환]]을 이룬다.
이는 다음과 같은 추가 공리를 만족시켜야 한다.
* 모든 <math>r\in R</math> 및 <math>m,n\in M</math>에 대하여, <math>r\cdot(m*n)=(r\cdot m)*n</math>
결합 대수의 '''[[준동형 사상]]'''은 <math>(0,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*)</math>를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형 사상이자 유사환의 준동형 사상을 이루는 함수이다. 결합 대수와 결합 대수 준동형의 범주를 <math>R\text{-Assoc}</math>이라고 하자.
[[가환환]] <math>R</math> 위의 '''단위 결합 대수'''({{llang|en|unital associative algebra}}) <math>(M,0,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*,1)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된 [[대수 구조]]이다.
* <math>(M,0,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*)</math>는 <math>R</math> 위의 결합 대수를 이룬다.
* <math>(M,0,1,+,*)</math>은 [[환 (수학)|환]]을 이룬다.
단위 결합 대수의 '''[[준동형 사상]]'''은 <math>(0,1,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*)</math>를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형 사상이자 환의 준동형 사상을 이루는 함수이다. 이들은 결합 대수의 준동형 가운데, 단위원을 추가로 보존하는 것들이다. 단위 결합 대수와 단위 결합 대수 준동형의 범주를 <math>R\text{-uAssoc}</math>이라고 하자.
== 성질 ==
<math>R\text{-Assoc}</math>과 <math>R\text{-uAssoc}</math> 둘 다 [[대수 구조 다양체]]를 이루며, 이에 따라 곱 · [[쌍대곱]] · [[시작 대상]] · [[끝 대상]]의 존재를 알 수 있다.
{| class=wikitable
! 결합 대수 || 단위 결합 대수
|-
! [[시작 대상]]
| 영가군 || <math>R</math>
|-
! [[끝 대상]]
| 영가군 || 영가군
|-
! [[곱 (범주론)|곱]]
| 유사환으로서의 곱 || (유사)환으로서의 곱
|-
! 쌍대곱
| 결합 대수의 자유곱 || 단위 결합 대수의 자유곱
|}
즉, 결합 대수의 범주는 [[영 대상]]을 가지지만, 단위 결합 대수의 경우는 [[시작 대상]]과 [[끝 대상]]이 서로 다르다. 두 범주에서 곱은 서로 같으며, [[곱집합]]과 호환되지만, [[쌍대곱]]은 서로 다르다.
또한, (단위) 결합 대수의 범주에는 '''텐서곱''' <math>\otimes_R</math>이 존재한다. 집합으로서 이는
:<math>A\otimes_RB=\frac{A\times B}{(a,rb)\sim(ra,b)\forall r\in R}</math>
이다. 이에 따라 단위 결합 대수의 범주는 [[대칭 모노이드 범주]]를 이룬다.
=== 망각 함자 ===
결합 대수의 범주에서 유사환의 범주로 가는 망각 함자
:<math>R\text{-Assoc}\to\operatorname{Rng}</math>
및 단위 결합 대수의 범주에서 환의 범주로 가는 망각 함자
:<math>R\text{-uAssoc}\to\operatorname{Ring}</math>
가 존재한다. 후자의 왼쪽 [[수반 함자]]는 <math>S\mapsto R\otimes_{\mathbb Z}S</math>이다.
또한, 단위 결합 대수의 범주에서 결합 대수의 범주로 가는 망각 함자
:<math>R\text{-uAssoc}\to R\text{-Assoc}</math>
가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 [[수반 함자]]는
단위원이 없는 결합 대수 <math>A</math>를
:<math>A\mapsto R\oplus A</math>
로 대응시킨다 (<math>\oplus</math>는 [[아벨 군]]의 [[직합]]). 이 경우, <math>R\oplus A</math> 위의 연산은 다음과 같다.
:<math>s\cdot(r,a)=(sr,s\cdot a)</math>
:<math>(r,a)*(s,b)=(rs,s\cdot a,r\cdot b,a*b)</math>
== 예 ==
=== 대수학 ===
[[정수환]] <math>\mathbb Z</math> 위의 결합 대수는 [[유사환]]이며, 정수환 위의 단위 결합 대수는 [[환 (수학)|환]]이다.
[[환의 표수|표수]]가 <math>n</math>인 환은 <math>\mathbb Z/n</math> 위의 단위 결합 대수이다.
[[리 대수]]의 [[보편포락대수]]는 단위 결합 대수이다.
[[복소수체]] <math>\mathbb C</math>와 [[사원수]] 대수 <math>\mathbb H</math>는 실수 위의 단위 결합 대수이다. 복소수체에서 사원수 대수로 가는 포함 관계 <math>a+bi\subseteq\{a+bi+cj+dk\}</math>를 잡으면, 사원수 대수는 복소수체 위의 단위 결합 대수를 이룬다.
=== 해석학 ===
<math>R</math>가 [[위상환]]이라고 하자. [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 연속 함수 <math>\mathcal C(X;R)</math>의 집합은 자연스럽게 <math>R</math> 위의 단위 결합 대수의 구조가 존재한다.
:<math>r\cdot f\colon x\mapsto r\cdot f(x)</math>
:<math>f*g\colon x\mapsto f(x)\cdot g(x)</math>
:<math>0\colon x\mapsto 0_R</math>
:<math>1\colon x\mapsto 1_R</math>
마찬가지로, [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[매끄러운 함수]]의 집합 <math>\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)</math>은 실수체 위의 단위 결합 대수의 구조를 가진다.
== 바깥 고리 ==
* {{eom|title=Associative rings and algebras}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/associative+unital+algebra|제목=Associative unital algebra|작품명=nLab|언어고리=en}}
[[분류:추상대수학]]
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