아벨 군: 두 판 사이의 차이
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=== 아벨 유한군의 분류 ===
모든 아벨 [[유한군]]은 다음과 같은 형태로 표준적으로 나타낼 수 있으며, 이러한 표현은 유일하다. 이를 '''소분해'''(素分解, {{llang|en|prime decomposition}})라고 한다.
:<math>G=\bigoplus_p\bigoplus_{i=1}^{t_p}\mathbb Z/
여기서 <math>
마찬가지로 아벨 유한군을 다음과 같이 표현할 수도 있으며, 이를 '''불변 인자 분해'''(不變因子分解, {{llang|en|invariant factor decomposition}})라고 한다.
:<math>\mathbb Z/k_1 \oplus \cdots \oplus \mathbb Z/k_u</math>
여기서
여기서 <math>k_i</math>는 <math>k_{i+1}</math>의 약수이다.▼
:<math>k_u \mid k_{u-1} \mid \cdots \mid k_1</math>
이다 (<math>a\mid b</math>는 <math>a</math>가 <math>b</math>의 약수임을 뜻한다).
이 두 분해는 [[중국인의 나머지 정리]]를 사용하여 서로 동치임을 보일 수 있다.<ref>{{서적 인용
| 성 = Hungerford
| 이름 = Thomas W.
줄 97 ⟶ 99:
| isbn = 978-0-387-90518-1
| 언어고리=en
}}</ref>{{rp|78–81}} 구체적으로,
:<math>k_1=\prod_pp^{n_1}</math>
:<math>k_2=\prod_pp^{n_2}</math>
:<math>\vdots</math>
아벨 유한군은 항상 계수가 0이며, 최소 생성 집합의 크기는 <math>\max_p\{t_p\}</math>이다. 즉, 불변 인자 분해에서 항의 수와 같다.
==== 아벨 유한군의 자기 동형 ====
아벨 유한군의 [[자기 동형군]] 역시 완전히 알려져 있다.<ref>{{저널 인용|arxiv=math/0605185|제목=Automorphisms of finite Abelian groups|이름=Christopher J.|성=Hillar|이름-2=Darren|성-2=Rhea|저널=The American Mathematical Monthly|bibcode=2006math......5185H|jstor=27642365|권=114|호=10|날짜=2007-12|쪽= 917–923|issn=0002-9890|언어고리=en}}</ref>
소분해가 주어진 아벨 <math>p</math>-유한군의 [[자기 동형군]]의 크기는 다음과 같다.
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