2015년 3월 26일 (목) 08:10 판 편집 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 잔글편집 요약 없음 ← 이전 편집		2015년 3월 30일 (월) 10:46 판 편집 편집 취소 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
20번째 줄: <math>R</math>이 [[가환환]]일 때는 좌가군과 우가군은 아무 차이가 없으므로, 좌우 구분을 생략하고 그냥 단순히 '''<math>R</math>-가군'''이라고 한다. ~~== 표현론 ==~~ 함수 <math>f_r : M \rightarrow M</math>를 <math>f_r (x) = rx</math>라고 하면 위의 조건 1에 의하여 <math>M</math>에서 <math>M</math> 자신으로의 [[군 준동형사상]]이 되고, <math>f : R \rightarrow End(M)</math>을 <math>f(r)=f_r</math>라고 하면, 나머지 세 조건에 의해 [[환 준동형사상]]이 된다. 여기에서 <math>End(M)</math>는 <math>M</math>의 [[자기준동형환]]이다. 따라서 가군은 아벨 군에 환이 [[군의 작용\|작용]]하는 것으로 볼 수 있으며, 이런 의미에서 보면 가군론은 군이 [[벡터 공간]]에 작용하는 경우를 다루는 [[군 표현론\|표현론]]을 일반화한 것이다. == 가군의 크기 == 가군의 크기를 나타내는 여러 척도가 존재한다. === 길이 === {{본문\|가군의 길이}} 가군의 '''[[가군의 길이\|길이]]'''는 부분 가군들의 사슬의 최대 길이이다. === 크룰 차원 === {{본문\|크룰 차원}} [[가환환]] <math>R</math> 위의 가군의 '''[[크룰 차원]]'''은 가군을 <math>\operatorname{Spec}R</math> 위의 [[벡터 다발]]의 일종으로 여겨 [[대수기하학]]적으로 정의하는 차원의 개념이다. === 계수 === [[정역]] <math>R</math> 위에 정의된 가군 <math>M</math>의 '''계수'''({{llang\|en\|rank}})는 다음과 같다. :<math>\operatorname{rank}M=\dim_{\operatorname{Frac}R}M\otimes_R\operatorname{Frac}R</math> 여기서 <math>\operatorname{Frac}R</math>는 <math>R</math>의 [[분수체]]이며, <math>\dim_{\operatorname{Frac}R}</math>는 <math>R</math>의 분수체 위의 [[벡터 공간]]의 차원이다. [[아벨 군]]의 [[계수 (아벨 군)\|계수]]는 정수환 위의 가군으로서의 계수와 같다. === 호몰로지 차원 === [[가환환]] <math>R</math> 위의 가군 <math>M</math>을 생각하자. <math>M</math>의 '''사영 차원'''({{llang\|en\|projective dimension}}) <math>\operatorname{pd}_RM</math>은 <math>M</math>의 [[사영 분해]]({{llang\|en\|projective resolution}}) :<math>0\to P_n\to P_{n-1}\to\cdots\to P_0\to M\to0</math> 의 길이 <math>n</math>들의 [[하한]]이다. 마찬가지로, <math>M</math>의 '''단사 차원'''({{llang\|en\|injective dimension}}) <math>\operatorname{id}_RM</math>은 <math>M</math>의 [[단사 분해]]({{llang\|en\|injective resolution}}) :<math>0\to M\to I_0\to I_1\to I_2\to\cdots\to I_n\to0</math> 의 길이 <math>n</math>들의 [[하한]]이다. == 예 == 특별한 환 위의 가군들은 특별한 이름을 갖는다. * [[체 (수학)\|체]]의 가군은 [[벡터 공간]]이라고 불린다. 보다 일반적으로, [[나눗셈 환]]([[사원수]]의 대수 등)의 가군론은 [[선형대수학]]으로 완전히 다룰 수 있다. {\| class=wikitable * [[정수]]의 환 <math>\mathbb Z</math>의 가군은 [[아벨 군]]이라고 불린다.▼ ! 환 !! 가군 * [[자명환]](0=1인 유일한 환)의 가군은 자명 가군밖에 없다. \|- \| [[체 (수학)\|체]] \|\| 체 위의 [[벡터 공간]] \|- ▲\| [[정수정수환]]~~의 환~~ <math>\mathbb Z</math>의 ~~가군은~~\|\| [[아벨 군]]~~이라고 불린다.~~ \|- \| [[정수환]]의 [[몫환]] <math>\mathbb Z/(n)</math> \|\| 모든 원소의 차수가 <math>n</math>의 [[배수]]인 [[아벨 군]] \|- \| [[자명환]] <math>0</math> \|\| 자명 가군 <math>0</math> \|} 임의의 환 <math>R</math>은 스스로의 가군이다.

가군: 두 판 사이의 차이