Tor 함자: 두 판 사이의 차이
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이다. 이 쌍함자 <math>\operatorname{Tor}^R_i\colon\operatorname{Mod}_R\times{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}</math>를 '''Tor 함자'''라고 한다.
==
=== 벡터 공간 ===
* [[Ext 함자]]▼
체 <math>K</math> 위의 [[가군]]의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 [[벡터 공간]]이며, 모든 벡터 공간은 [[사영 가군]]이다. 즉, 벡터 공간 <math>V</math>의 사영 분해는 자명하다.
* [[그로텐디크 군]]▼
:<math>0\to P^0=V\to V\to0</math>
따라서, <math>K</math> 위의 벡터 공간 <math>V</math>, <math>W</math>가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Tor}^0_K(V,W)=V\otimes_KW</math>
:<math>\operatorname{Tor}^n_K(V,W)=0\qquad\forall n>0</math>
=== 아벨 군 ===
[[정수환]] <math>\mathbb Z</math> 위의 가군의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 [[아벨 군]]이며, [[사영 가군]]은 [[자유 아벨 군]]이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 <math>G</math>는 [[자유 아벨 군]] <math>P^0</math>의 [[몫군]] <math>P^0/P^1</math>으로 나타낼 수 있으며, [[자유 아벨 군]]의 모든 [[부분군]]은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.
:<math>0\to G\to P^0\to P^1\to0</math>
[[아벨 군]] <math>G</math>, <math>H</math>가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다. <math>G</math>의 사영 분해가
:<math>0\to P^1\xrightarrow{\iota}P^0\to G\to0</math>
이라면, Tor 함자는 다음 [[사슬 복합체]]의 [[호몰로지 군]]이다.
:<math>0\to P^1\otimes_{\mathbb Z} H \xrightarrow{\iota\otimes_{\mathbb Z}\operatorname{id}} P^0\otimes_{\mathbb Z}H\to0</math>
따라서,
:<math>\operatorname{Tor}^0_{\mathbb Z}(G,H)\cong G\otimes_{\mathbb Z}H</math>
이며,
:<math>\operatorname{Tor}^1_{\mathbb Z}(G,H)\cong\ker(\iota\otimes_{\mathbb Z}\operatorname{id})</math>
이다. 특히,
:<math>\operatorname{Tor}^1_{\mathbb Z}(\mathbb Z,H)=0</math>
:<math>\operatorname{Tor}^1_{\mathbb Z}(\mathbb Z/(n),H)=\{h\in H\colon nh=0\}</math>
이다.
== 참고 문헌 ==
* {{책 인용 | last=Gelfand | first=Sergei I. | 공저자 = Yuri Ivanovich Manin | title=Homological algebra | isbn=978-3-540-65378-3 | year=1999 | publisher=Springer | location=Berlin|언어고리=en}}
* {{저널 인용|제목=現代數學과 Homology 代數|저자=李起安|저널=Bulletin of the Korean Mathematical Society|권=9|호=2|날짜=1972|쪽=83–99|url=http://pdf.medrang.co.kr/kms01/BKMS/9/BKMS-9-2-83-99.pdf|언어고리=ko|issn=1015-8634}}
== 바깥 고리 ==
* {{nlab|id=Tor}}
==같이 보기==
▲* [[Ext 함자]]
▲* [[그로텐디크 군]]
[[분류:호몰로지 대수학]]
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