아벨 군: 두 판 사이의 차이
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[[정역]] <math>R</math> 위의 가군의 계수는 <math>\operatorname{rank}M=\dim_{\operatorname{Frac}R}M\otimes_R\operatorname{Frac}R)</math>이다. 여기서 <math>\operatorname{Frac}R</math>는 <math>R</math>의 [[분수체]]를 뜻하며, <math>\dim_{\operatorname{Frac}R}</math>는 분수체 위의 [[벡터 공간]]으로서의 차원이다. 이 경우, 아벨 군의 가군론적 계수는 아벨 군으로서의 계수와 같다.
=== 호몰로지 대수학적 성질 ===
아벨 군을 [[정수환]] 위의 가군으로 간주하였을 때, [[사영 가군]]은 [[자유 아벨 군]]이며, [[단사 가군]]은 [[분해가능군]]이다.
임의의 아벨 군 <math>G</math>는 [[자유 아벨 군]] <math>F</math>의 [[몫군]] <math>F/N</math>으로 나타낼 수 있다.
:<math>0\to N\to F\to G\to0</math>
또한, 자유 아벨 군의 모든 [[부분군]]은 자유 아벨 군이므로, 이는 길이가 1인 사영 분해를 이룬다. 따라서, 아벨 군 <math>G</math>의 [[사영 차원]]은 다음과 같다.
* <math>G</math>가 [[자유 아벨 군]]일 경우, <math>\operatorname{pd}_{\mathbb Z}G=0</math>
* <math>G</math>가 [[자유 아벨 군]]이 아닐 경우, <math>\operatorname{pd}_{\mathbb Z}G=1</math>
마찬가지로, 임의의 아벨 군 <math>G</math>은 어떤 [[분해가능군]] <math>D</math>의 부분군으로 나타낼 수 있다.
:<math>0\to G\to D\to Q</math>
또한, 분해가능군의 [[몫군]]은 역시 분해가능군이므로, 이는 길이가 1인 단사 분해를 이룬다. 따라서, 아벨 군 <math>G</math>의 [[단사 차원]]은 다음과 같다.
* <math>G</math>가 [[분해가능군]]일 경우, <math>\operatorname{id}_{\mathbb Z}G=0</math>
* <math>G</math>가 [[분해가능군]]이 아닐 경우, <math>\operatorname{id}_{\mathbb Z}G=1</math>
=== 범주론적 성질 ===
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