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위상 K이론: 두 판 사이의 차이

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=== 축소 K군 ===
<math>(X,x_0)</math>가 [[점을 가진 공간]]이라고 하자. 그렇다면 '''축소 K군'''({{lang|en|reduced K-group}}) <math>\tilde K^0(X,x_0)</math>는 다음과 같다. 다음과 같은 [[준동형사상준동형]]이 존재한다.
:<math>\phi\colon K^0(X)\to K^0(\{x_0\})</math>
그렇다면
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이다.
 
[[벡터 다발]]의 차원에 해당하는, 다음과 같은 [[군 준동형사상준동형]]이 존재한다.
:<math>\dim\colon K^0(X)\to\check H^0(X,\mathbb Z)</math>
여기서 <math>\check H^0(X,\mathbb Z)</math>는 정수 계수를 가지는 [[체흐 코호몰로지]]다. 만약 <math>X</math>가 [[연결 공간]]이라면 <math>\check H^0(X,\mathbb Z)=\mathbb Z</math>이다. 이 경우 <math>\dim\colon K^0(X)\to\mathbb Z</math>이며, [[벡터 공간]] <math>K_n^0(X)=\dim^{-1}(n)</math>은 <math>n</math>차원 벡터 다발들이 이루는 [[그로텐디크 군]]이다.
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=== 천 지표 ===
[[천 지표]] <math>\operatorname{ch}\colon\operatorname{Vect}(X)\to H^\bullet(X)</math>는 <math>X</math> 위의 [[벡터 다발]]들의 [[모노이드]] <math>\operatorname{Vect}(X)</math>로부터 짝수 차수 유리수 코호몰로지 <math>H^0(X)\oplus H^2(X)\oplus\dotsb\subset H^\bullet(X;\mathbb Q)</math>로 가는 모노이드 [[준동형사상준동형]]이다.<ref name="Zois"/>{{rp|40–45}}<ref name="Hatcher">{{책 인용|제목=Vector Bundles and K-Theory|이름=Allen|성=Hatcher|날짜=2009-05|판=버전 2.1|url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf|언어고리=en}}</ref>{{rp|100–102}} 이는 [[그로텐디크 군]] 연산을 통해, 다음과 같은 [[환 준동형사상준동형]] <math>\operatorname{ch}\colon K^0(X)\to H^\bullet(X;\mathbb Q)</math>로 확장된다. 즉, <math>[E],[F]\in K^0(X)</math>라고 하면,
:<math>\operatorname{ch}([E]\oplus[F])=\operatorname{ch}([E])+\operatorname{ch}([F])</math>
:<math>\operatorname{ch}([E]\otimes[F])=\operatorname{ch}([E])\smile\operatorname{ch}([F])</math>
:<math>\operatorname{ch}(-[E])=-\operatorname{ch}([E])</math>
:<math>\operatorname{ch}([\mathbb C^{\oplus k}])=k</math>
이다. 다시 말해, 천 지표는 K이론에서 코호몰로지로 가는 준동형사상이다준동형이다. 마찬가지로, 축소 K이론에서 축소 코호몰로지로 가는 준동형사상준동형 <math>\operatorname{ch}\colon\tilde K^0(X)\to\tilde H^\bullet(X;\mathbb Q)</math> 또한 존재한다.
 
고차 K이론의 경우에도 천 지표를 정의할 수 있다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|102}}
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/위상_K이론"