아벨 군: 두 판 사이의 차이
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=== 범주론적 성질 ===
아벨 군과 [[군 준동형]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Ab}</math>는 [[
{| class=wikitable
! 범주론의 개념 !! 아벨 군론의 개념
|-
! [[영 대상]]
| [[자명군]] <math>0</math>
|-
! [[곱 (범주론)|곱]]
| 군의 [[직접곱]] <math>\textstyle\prod_{i\in I}G_i</math>
|-
! [[쌍대곱]]
| 아벨 군의 [[직합]] <math>\textstyle\bigoplus_{i\in I}G_i</math>
|-
! [[동등자]]
| [[집합]]과 [[함수]]의 범주에서의 동등자
|-
! [[쌍대동등자]]
| <math>\phi,\chi\colon G\to H</math>의 쌍대동등자는 <math>\{\phi(g)-\chi(g)\colon g\in G\}</math>으로부터 생성되는 [[부분군]]에 대한 [[몫군]]
|-
! [[단사 사상]]
| [[단사 함수]]인 [[군 준동형]]
|-
! [[전사 사상]]
| [[전사 함수]]인 [[군 준동형]]
|-
! [[군 대상]]
| 아벨 군
|-
! [[단사 대상]]
| [[분해가능군]]
|-
! [[사영 대상]]
| [[자유 아벨 군]]
|}
아벨 군의 [[아벨 범주]]이며, 따라서 다음 성질들이 성립한다.
* 두 아벨 군 사이의 [[군 준동형]]들의 집합은 자연스럽게 아벨 군의 구조를 갖는다. 구체적으로, <math>\phi,\chi\colon G\to H</math>가 주어졌다면 <math>(\phi+\chi)\colon g\mapsto \phi(g)+\chi(g)</math>와 같이 정의한다.
* 모든 유한 [[곱 (범주론)|곱]]과 유한 [[쌍대곱]]이 존재하며, 서로 같다. 이는 [[직접곱]](=아벨 군의 [[직합]])이다.
* [[분할 완전열|분할 보조정리]]가 성립한다.
▲아벨 군의 범주에서, [[단사 대상]]은 [[분해가능군]]이며, [[사영 대상]]은 [[자유 아벨 군]]이다. 즉, [[정수환]] 위의 [[단사 가군]]은 [[분해가능군]]이며, [[정수환]] 위의 [[사영 가군]]은 [[자유 아벨 군]]이다.
망각 함자
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