폰트랴긴 쌍대성: 두 판 사이의 차이
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따라서, U(1) 위에 정의된 함수의 푸리에 변환은 ℤ 위에 정의된 함수([[수열]])이다. 이는 [[주기함수]]의 [[푸리에 급수]]에 해당한다. 또한, [[순환군]] 위에 정의된 함수의 푸리에 변환은 [[이산 푸리에 변환]]에 해당한다.
=== p진수와 유리수의 폰트랴긴 쌍대군 ===
유리수의 각 [[위치 (수론)|위치]] <math>\nu\in\{0,2,3,5,7,\dots\}</math>에 대하여, 다음과 같은 위상 아벨 군의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>0\to\mathbb Z_\nu\to\mathbb Q_\nu\to\mathbb Q_\nu/\mathbb Z_\nu\to0</math>
여기서 <math>\nu=0</math>일 경우, 이 완전열은 무한 순환군과 원군을 다음과 같이 연결한다.
:<math>0\to\mathbb Z\to\mathbb R\to\mathbb R/\mathbb Z=\operatorname U(1)\to0</math>
<math>nu=p</math>일 경우, 이 완전열은 [[p진 정수]]와 [[프뤼퍼 군]]을 연결한다.
:<math>0\to\mathbb Z_p\to\mathbb Q_p\to\mathbb Q_p/\mathbb Z_p=\mathbb Z(p^\infty)\to0</math>
이 완전열에서, 가운데 원소 <math>\mathbb Q_\nu</math>는 항상 스스로의 폰트랴긴 쌍대군과 동형이며, 따라서 <math>\mathbb Z_\nu</math>와 <math>\mathbb Q_\nu/\mathbb Z_\nu</math>는 서로 폰트랴긴 쌍대이다.
== 성질 ==
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