"특이 호몰로지"의 두 판 사이의 차이

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== 정의 ==
<math>X</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이며, <math>R</math>가 (1을 갖는) [[환 (수학)|환]]이라고 하자. 그렇다면, <math>X</math>의, <math>R</math> 계수의 특이 호몰로지 군은 다음과 같이 정의된다.
=== 특이단체 ===
<math>n</math>차원 '''표준 [[단체 (수학)|단체]]'''(標準單體, {{lang|en|standard simplex}}) <math>\Delta^n\subset\mathbb R^{n+1}</math>은 다음과 같다.
=== 사슬 ===
<math>n</math>차원 '''표준 [[단체 (수학)|단체]]'''(標準單體, {{langllang|en|standard simplex}}) <math>\Delta^n\subset\mathbb R^{n+1}</math>은 다음과 같다.
:<math>\Delta^n=\left\{(x_0,x_1,\dots,x_n)|0\le x_i\le1,\;\sum_ix_i=1\right\}</math>.
이는 [[선분]]과 [[삼각형]], [[정사면체|사면체]]를 일반화한 것이다.
 
<math>X</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이라고 하자. <math>X</math> 위의 <math>n</math>차원 '''특이 단체'''(特異單體, {{langllang|en|singular complex}})는 [[연속 함수]] <math>\sigma_n\colon\Delta^n\to X</math>를 뜻한다. <math>X</math> 위의 <math>n</math>차원 '''사슬'''({{lang|en|chain}})은 모든 <math>n</math>차원 특이 단체로 의하여 생성되는 자유 [[아벨 군]]의 원소다. 이 아벨 군을 <math>C_n(X)</math>이라고 쓰자.
:<math>\sigma_n\colon\Delta^n\to X</math>
를 뜻한다. <math>X</math> 위의, <math>R</math> 계수의 <math>n</math>차원 '''사슬'''({{llang|en|chain}})은 모든 <math>n</math>차원 특이 단체로 의하여 생성되는, <math>R</math> 위의 왼쪽 [[자유 가군]]의 원소다. 이 자유 가군을 <math>C_n(X;R)</math>라고 쓰자. (만약 <math>R=\mathbb Z</math>일 경우, 이는 [[자유 아벨 군]]이 된다.)
 
=== 경계 연산자 ===
표준 단체 <math>\Delta^n</math>의 꼭짓점들을 <math>p_1,\dots,p_n</math>이라고 하자. 표준 단체 <math>\Delta^n</math>의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 <math>n+1</math>개의 꼭짓점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어
:<math>[p_0,p_2,\dots,p_{k-1},p_{k+1},\dots,p_n]</math>
로 쓰자.
 
<math>n</math>차원 특이 단체 <math>\sigma_n\colon\Delta^n\to X</math>의 '''경계'''(境界, {{langllang|en|boundary}}) <math>\partial_n\sigma_n\in C_{n-1}(X;R)</math>는 다음과 같다.
:<math>\partial_n\sigma_n=\sum_{k=1}^n(-1)^k\sigma|_{[p_0,\dots,\hat p_k,\dots,p_n]}</math>.
경계 연산자 <math>\partial_n</math>는 특이 단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 <math>\partial_n\colon C_n\to C_{n-1}</math>이다. 이는 <math>R</math> 위의 [[아벨 군가군]]의 [[가군 준동형]]을 이룬다. 또한, <math>\partial_{n-1}\circ\partial_n\colon C_n(X)\to C_{n-2}(X)</math>는 항상 0이다. 따라서 <math>(C_\bullet(X),\partial_\bullet)</math>은 [[사슬 복합체]]를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 [[호몰로지]]
:<math>\operatorname H_n(X)=\ker\partial_n/\operatorname{im}\partial_{n+1}</math>
들을 '''특이 호몰로지'''라고 한다. 이는 <math>R</math> 위의 왼쪽 [[가군]]을 이룬다. (사슬 가군은 [[자유 가군]]이지만, 호몰로지는 일반적으로 자유 가군이 아니다.)
 
=== 정수가 아닌 계수를 가진 특이 호몰로지코호몰로지 ===
<math>X</math> 위의 '''공사슬'''(共-, {{langllang|en|cochain}})은 [[가군 준동형]] <math>\phi^n\colon C_n(X;R)\to \mathbb ZR</math>이다. 공사슬의 집합은 [[아벨 군]]을 이루며, <math>C^n(X;R)=\hom(C_n(X;R),\mathbb ZR)</math>으로 쓴다. 공사슬의 '''공경계'''(共境界, {{langllang|en|coboundary}}) <math>\delta_n\colon C^n(X;R)\to C^{n+1}(X;R)</math>은 다음과 같다.
[[아벨 군]]은 [[환 (수학)|환]] <math>\mathbb Z</math>에 대한 자유 [[가군]]이다. 환 <math>\mathbb Z</math>를 다른 일반적인 (1을 포함하는) 환 <math>R</math>로 대체하여 호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우 <math>C_\bullet(X,R)</math>은 자유 <math>R</math>-가군이 되고, <math>H_\bullet(X,R)</math>은 (일반적으로 자유롭지 않은) <math>R</math>-가군이 된다.
 
== 특이 코호몰로지 ==
<math>X</math> 위의 '''공사슬'''({{lang|en|cochain}})은 [[군 준동형]] <math>\phi^n\colon C_n(X)\to \mathbb Z</math>이다. 공사슬의 집합은 [[아벨 군]]을 이루며, <math>C^n(X)=\hom(C_n,\mathbb Z)</math>으로 쓴다. 공사슬의 '''공경계'''({{lang|en|coboundary}}) <math>\delta_n\colon C^n\to C^{n+1}</math>은 다음과 같다.
:<math>\delta_n(\phi^n)(\sigma_{n+1})=\phi^n(\partial_{n+1}\sigma_{n+1})</math>.
<math>(C^\bullet(X;R),\delta_\bullet)</math>은 [[공사슬 복합체]]를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 [[코호몰로지]]
:<math>\operatorname H^n(X)=\ker\delta_n/\operatorname{im}\delta_{n-1}</math>
들을 '''특이 코호몰로지'''({{langllang|en|singular cohomology}})라고 한다.
 
== 예 ==
=== 초구 ===
<math>n</math>차원 [[구 (기하)|구초구]] <math>S^n</math>의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.
:<math>H_0(S^0)=\mathbb Z^2</math>, <math>H_k(S^0)=0</math> (<math>k>0</math>)
:<math>H_0(S^n)=H_n(S^n)=\mathbb Z</math>, <math>H_k(S^0)=0</math> (<math>0<k\ne n</math>)