분할 거듭제곱 환

수학, 특히 가환대수학에서 분할거듭제곱 구조라고 하는 것은, 주어진 환(수학)에서 수학적인 표현 $x^{n}/n!$의 연산이 주어진 연산 내부에서는 불가능하더라도, 이를 의미있게 만들어 줄 수 있는 부가 구조를 의미한다. 크리스탈린 코호몰로지이론에서 등장한 프랑스어 puissances divisées (영어: divided power structure) 를 한국어로 번역한 표현이다.

정의

A를 가환환이라고 하고, I를 A의 주어진 이데알이라고 하자. 이때, I 상에서의 분할거듭제곱 구조라고 함은, 각각의 정수 n=0, 2, 3, ... 마다 하나씩 주어진 함수 $\gamma _{n}:I\to A$들의 모임으로써, 다음의 조건들을 만족하는 것을 뜻한다:

1. $\gamma _{0}(x)=1$ 이다.
2. 각각의 $x\in I$에 대해, $\gamma _{1}(x)=x$이고, 반면에 n>0인 경우 $\gamma _{n}(x)\in I$ 이다.
3. 각각의 $x,y\in I$에 대해, $\gamma _{n}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}\gamma _{n-i}(x)\gamma _{i}(y)$이다.
4. 각각의 $\lambda \in A,x\in I$에 대해, $\gamma _{n}(\lambda x)=\lambda ^{n}\gamma _{n}(x)$이다.
5. 각각의 $x\in I$에 대해, $\gamma _{m}(x)\gamma _{n}(x)=((m,n))\gamma _{m+n}(x)$이다. 이때, $((m,n))={\frac {(m+n)!}{m!n!}}$를 뜻한다. (이 수는 항상 정수이다.)
6. 각각의 $x\in I$에 대해, $\gamma _{n}(\gamma _{m}(x))=C_{n,m}\gamma _{mn}(x)$이다. 이때, $C_{n,m}={\frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}$를 뜻한다. (이 수는 항상 정수이다.)

만약, 주어진 분할거듭제곱 구조가 명확한 경우에는 $\gamma _{n}(x)$ 대신에 $x^{[n]}$라고 쓰기도 한다. 분할거듭제곱 이데알이라고 하는 것은, 분할거듭제곱 구조가 주어진 이데알을 뜻하고, 분할거듭제곱 환 혹은 분할거듭제곱 대수라고 하는 것은, 그 환에 어떤 분할거듭제곱 이데알이 주어져 있는 경우를 뜻한다. 하나의 주어진 환에 여러 가지의 분할거듭제곱 구조가 주어질 수 있다.

분할거듭제곱 환들의 준동형사상(homomorphism)이라고 하는 것은, 환의 준동형사상으로써, 정의역과 치역의 분할거듭제곱 구조와 호환성이 있는 것을 뜻한다.

예제

• $\mathbb {Z} \langle {x}\rangle :=\mathbb {Z} [x,{\frac {x^{2}}{2}},\ldots ,{\frac {x^{n}}{n!}},\ldots ]\subset \mathbb {Q} [x]$은 분할거듭제곱 대수이다. 이데알 $(x)$에 대해, 구문 분석 실패 (알 수 없는 함수 "\math"): {\displaystyle \gamma_n (x) = \frac{x^n}{n!} <\math>, ''n''=0, 1, 2, ... 로 정의하면 된다. 사실, 이 분할거듭제곱 대수는, 하나의 생성자에 대한 자유 <math>\mathbb{Z}} -분할거듭제곱 대수이다. 자유라는 것은, 범주이론의 의미로 붙인 것이다.

• 만약 A가 Q-대수라면, 임의의 이데알 I 위에는 유일한 분할거듭제곱 구조가 존재한다. 그리고, 이 분할거듭제곱 구조는 $\gamma _{n}(x)={\frac {1}{n!}}\cdot x^{n}$ 로 결정된다. 이는, 임의의 분할거듭제곱 대수에 대해서, 항상 $x^{n}=n!\gamma _{n}(x)$가 성립하기 때문에, Q-대수인 경우에는 특히 $n!$로 나누어 줌으로써 증명가능하다. 하지만, Q-대수가 아닌 경우에는 $x^{n}=n!\gamma _{n}(x)$는 성립하더라도, $n!$로 나눌 수 없는 경우가 생길 수 있으므로, 분할거듭제곱 구조는 유일하지 않을 수 있다.

• 만약 A가 종수(characteristic)이 어떤 소수 값 $p>0$을 가지는 환이고, 주어진 이데알 I이 $I^{p}=0$를 만족하는 경우라면, 어떤 분할거듭제곱 구조를 아래와 같이 하나 정의해 줄 수 있다. (이 구조만이 유일한 것이 아닐 수 있음에 주의): 만약 n<p라면, $\gamma _{n}(x)={\frac {1}{n!}}x^{n}$로, 만약 $n\geq p$라면, $\gamma _{n}(x)=0$로 정의한다.

일반적으로 양의 종수를 가지는 환에서 주의할 점 하나는, 이데알 $I^{p}$과, 모든 $x\in I$에 대해 $x^{p}$로 생성된 이데알 사이에는 차이가 있다는 점이다. 전자는 0이 아닐 수 있지만, 후자의 경우는 분할거듭제곱 구조가 존재한다면 항상 0이 된다는 것을 증명할 수 있다.

응용

분할거듭제곱 구조는, 분할거듭제곱 미분연산자의 이론이나 크리스탈린 코호몰로지이론에서 기본적인 도구로 사용된다. 이를 이용하여, 양의 종수를 가지는 환에서의 기술적인 어려움들이 극복될 수 있다.

참고문헌

• Berthelot, Pierre; Ogus, Arthur (1978). Notes on Crystalline Cohomology. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press.
• Hazewinkel, Michiel (1978). Formal Groups and Applications. Pure and applied mathematics, a series of monographs and textbooks 78. Elsevier.